Физика 9-10 класс

Џрименим этот метод длЯ анализа отражениЯ волны от плоского зеркала. Џредположим, что в точке A находитсЯ некоторый источник света. ‚ разных точках зеркала (C и , например) колебаниЯ электронов будут происходить с разными начальными фазами. ‘ разными фазами будут происходить и колебаниЯ электрического полЯ в точке B, вызванные колебаниЯми расположенных в разных точках электронов.

ђазность фаз этих колебаний определЯетсЯ разностью длин ломаных ACB и ACХB. Ћбозначим их как L и . 'огда разность фаз колебаний .

‡десь c — скорость света, D t — разность времен распространениЯ света вдоль ломаных ACХB и ACB, времЯ запаздываниЯ одного сигнала по отношению к другому. ЏоЯвление знака «минус» свЯзано с тем, что вдоль ломаной ACХB волна проходит большее расстоЯние, в сложении участвуют колебаниЯ волны, излученной в более ранний момент времени.

«лина ломаной ACB минимальна. Џоэтому при прохождении луча через эту точку .

ќто означает, что при малом смещении от точеи C вверх или вниз фаза колебаний в точке B из-за колебаний отдельных электронов остаетсЯ примерно одинаковой, амплитуды соответствующих колебаний складываютсЯ. Ќо при отклонении точки от положениЯ z = 0 (точки C) производнаЯ dt/dz и, стало быть, будет возрастать по модулю и «скорость» изменениЯ (модуль производной) будет тем больше, чем сильнее отличаетсЯ значение координаты z от нулЯ. Ќа векторной диаграмме это проЯвлЯтьсЯ в быстром изменении разности фаз колебаний (в точке B), вызванных даже близко друг другу расположенных электронов. ‘оответствующие векторы E0i на диаграмме поворачиваютсЯ и при больших значениЯх z собираютсЯ в тесный «клубок», т. е. дают все меньший вклад в суммарное колебание напрЯженности электрического полЯ в точке B.

'ак вот, при рисовании векторной диаграммы необходимо решить, в какую сторону поворачивать векторы, отвечающие опережающим по фазе колебаниЯм. €наче говорЯ, выбрать положительное направление отсчета угла, и тем самым — направление вращениЯ вектора.

‚ механике и электричестве за положительное направлениЯ отсчета угла принимаетсЯ направление против часовой стрелки. Ќо в оптике традиционно за положительное направление выбираетсЯ противоположное направление, по часовой стрелке. ќто изменЯет вид векторной диаграммы и будет существенно при решении некоторых задач.

‚ этой свЯзи полезно запомнить такое простое правило длЯ рисованиЯ векторных диаграмм: если путь распространениЯ света больше, то соответствующий вектор на диаграмме оказываетсЯ повернутым на некоторый угол против часовой стрелки.

Џроизведем некоторые оценки длЯ конкретного взаимного расположениЯ зеркала, источника света A и точки наблюдениЯ B. Ѓудем считать, что a 1 = a 2» 450, а координаты точек zA = 20 см, и zB = -15 см. Ќас будет интересовать, при каком смещении точки C фаза электромагнитных колебаний в точке B изменитсЯ на p /2.

Џри такой геометрии длина пути распространениЯ света и .

€зменение фазы колебаний на p /2 (и, соответственно, поворот вектора на фазовой диаграмме на такой угол) отвечает разности путей распространениЯ света l /4. ЏринЯв длину волны l = 0,5 мкм, мы получаем: ; .

'аким образом, согласно нашей оценке заметный вклад в электромагнитные колебаниЯ в точке B дают лишь колебаниЯ электронов, расположенных на расстоЯниЯх меньше ± 0,2 мм в окрестности точки C.

‹екциЯ 5

4.4. ќллиптическое зеркало.

«точненнаЯ формулировка принципа «ерма

ќллипс представлЯет собой геометрическое место точек, сумма расстоЯний от которых до некоторых двух точек (фокусов эллипса) постоЯнна. ЃлагодарЯ этому зеркало, сечение которого представлЯет собой эллипс, оказываетсЯ исключительно интересным. Џри отражении от такого зеркала каждый луч, вышедший из фокуса A после отражениЯ попадает в фокус B.

Њы рассматривали отражение от плоского зеркала, тогда путь распространениЯ был минимальным. ‚ случае эллиптического зеркала все пути распространениЯ света одинаковы. Љак и в случае плоского зеркала, отраженнаЯ волна представлЯет собой результат излучениЯ колеблющихсЯ электронов, колебаниЯ которых вызвала падающаЯ волна Ѓудем считать, что источник волн, излучатель находитсЯ в точке A. Ќо теперь вызванные движением разных электронов электромагнитные колебаниЯ в точке B будут происходить с одинаковыми фазами. ‚екторнаЯ диаграмма будет выглЯдеть иначе — отдельные векторы не будут повернуты один по отношению к другому, будут лежать на одной прЯмой.

…стественно, при таком отражении длЯ каждого луча также будет справедлив закон отражениЯ.

…сли кривизна зеркала в точке отражениЯ будет больше кривизны эллиптического зеркала, длина пути распространениЯ (длина ломаной ACB) будет не минимальной, а максимальной. Ќо отражение в точке C будет происходить так же, как от эллиптического зеркала. ќто вынуждает нас уточнить формулировку принципа «ерма: длЯ пути распространениЯ света определЯющей оказываетсЯ не минимальность, а экстремальность этого пути. €ли же длина пути не должна изменЯтьсЯ при смещении точки отражениЯ.

‚ этой свЯзи можно провести такие более доказательные рассуждениЯ.

‹уч CB проходит также через точки и . € если длины разных лучей, приходЯщих из точки A в точку B одинаковы, такого утверждениЯ нельзЯ сделать длЯ точек и . ‘оответственно, и векторные диаграммы длЯ сложениЯ колебаний от отдельных электронов в этих точках будут выглЯдеть иначе — эти векторы не будут выстраиватьсЯ по одной прЯмой, станут скручиватьсЯ в «клубки». Џопробуйте самостоЯтельно разобратьсЯ, какаЯ из приведенных на рисунке диаграмм относитсЯ к точке , а какаЯ к точке .

…сли ‚ам понЯтен смысл векторных диаграмм, ‚ы поймете и то, что такое различие их вида означает весьма существенное различие амплитуд колебаний в точке B (амплитуда велика) и точках и с другой стороны. ѓоворЯт, что свет «фокусируетсЯ» в точке B, в этой точке находитсЯ изображение источника света A.

4.5. ‘ферическое зеркало

‘войством сферического зеркала ЯвлЯетсЯ то, что после отражениЯ от него лучи собираютсЯ в некоторой точке, называемой фокусом зеркала.

ђассмотрим падение плоской волны на сферическое зеркало радиуса R. Џри этом мы ограничимсЯ рассмотрением отражениЯ параксиальных лучей, расстоЯние которых от оптической оси на малое расстоЯние, равное длине отрезка AB << R. ‚ этом приближении угол падениЯ q можно считать малым.

Џосле отражениЯ луч пересечет оптическую ось в некоторой точке F. Џри малых q будут справедливы выражениЯ: ; , из которых следует, что фокусное расстоЯние зеркала OF равно половине радиуса.

‘обственно, мы решили задачу о сферическом зеркале. Ќо более важной задачей длЯ нас ЯвлЯетсЯ детальное знакомство с процессами излучениЯ, распространениЯ волн. Џоэтому поговорим о процесс фокусировки подробнее.

ђанее мы получили свЯзь между характером изменениЯ фазы колебаний непрерывно расположенных точечных источников при переходе от точки к точке и направлением излучениЯ q: .

Џри малых значениЯх q будет: .

Џрименим это выражение к случаю отражениЯ плоской волны от сферического зеркала. Ћбозначим на этот раз угол падениЯ через a и вместо дифференцированиЯ по y нам нужно будет провести дифференцирование фазы по расстоЯнию x(a) от точки O.

Џочему при переходе от точки к точке вдоль поверхности зеркала изменЯетсЯ фаза вызванных волной колебаний электронов? ‚идно, что чем дальше точка падениЯ от центра зеркала, тем меньше путь луча, попадающего в эту точку. …сли разность хода равна D L, то длЯ подсчета разности фаз необходимо разделить эту величину на l и умножить на 2p . 'аким образом (по модулю), ; .

'еперь мы можем найти зависимость угла направлениЯ излучениЯ (по отношению к нормали, радиусу) от угла a: ; .

Њы не получили нового результата. Љак и должно быть, в чем мы убедились еще раз, угол отражениЯ q равен углу падениЯ a. Ќо длЯ нас важно, что этот результат длЯ отражениЯ от сферического зеркала может быть получен и с помощью анализа зависимости фазы колебаний электронов, излучающих вторичную, отраженную волну, от x — расстоЯниЯ от точки падениЯ луча до оптической оси OC.

4.6. Џараболическое зеркало

Џри отражении от сферического зеркала происходит фокусировка только параксиальных лучей. Џопробуем теперь найти такое сечение зеркала, чтобы в его фокусе собирались все лучи независимо от расстоЯниЯ до оптической оси.

«лЯ определениЯ вида сечениЯ зеркала воспользуемсЯ принципов ферма.

Џусть соответствующаЯ криваЯ описываетсЯ функцией y (x) , координаты точки падениЯ x и y. Ћбозначим буквой F фокус зеркала, его координата (фокусное расстоЯние) — f.

Ћт точки падениЯ луч пройдет до фокуса расстоЯние .

—тобы у всех параллельных лучей была одинаковаЯ длина пути, необходимо чтобы выполнЯлось условие после пересечениЯ с горизонтальной пунктирной линии до фокуса совпадающий с оптической осью луч пройдет сначала путь y до точки отражениЯ и затем — f в обратном направлении. ќтот путь должен быть равен L, 'олько в этом случае все лучи соберутсЯ в фокусе зеркала.

'аким образом, мы получаем: ; ; .

ќто парабола и, значит, необходимым нам свойством обладает параболическое зеркало.