Физика 9-10 класс

‘тержень можно представить себе как совокупность тесно друг к другу, непрерывно расположенных точечных источников волны, заменить, например, большим количеством прижатых друг к другу шариков. ‚ид возникающей при этом волны не изменитсЯ, но поЯвлЯетсЯ возможность провести важные рассуждениЯ.

Њножество точечных источников создает, естественно, множество круговых волн. Љак мы видим, при тесном расположении источников получаетсЯ плоскаЯ волна. Љаким образом?

Џри распространении плоской волны происходит движение энергии в направлении нормали к фронту. Џоэтому ответ на вопрос, почему волна плоскаЯ, заключаетсЯ в ответе на вопрос, почему энергиЯ не распространЯетсЯ в каком-то ином направлении, составлЯющем угол q с нормалью к оси стержнЯ. Ћтветом на этот вопрос мы сейчас и займемсЯ.

…сли у нас имеетсЯ множество непрерывно расположенных точечных источников (круговых) волн, мы всегда можем выбрать пару источников, расположенных на некотором нужном нам расстоЯнии друг от друга. ‚ыберем пару источников на таком расстоЯнии d, чтобы выполнЯлось условие . «алее, на достаточно большом расстоЯнии от источников малый участок фронта круговой волны можно считать плоским, как это показано на рисунке. € расстоЯние между гребнЯми волн двух источников, относЯщихсЯ к одному моменту времени излучениЯ, будет равно l /2. ќто означает, что в выделенной области вызванные двумЯ нашими точечными источниками колебаниЯ происходЯт в противофазе. Ђмплитуды колебаний примерно одинаковые и при их сложении мы получим нуль. ‚ этом направлении энергиЯ распространЯтьсЯ не будет.

Џредположим теперь, что фазы колебаний точечных источников цилиндрических или кольцевых волн неодинаковы, изменЯютсЯ вдоль стержнЯ, ЯвлЯЯсь функцией координаты j (y) . ‡апишем условие равенства фаз колебаний, приходЯщих с волной из точек 1 и 2 в удаленную зону наблюдениЯ: ; ; ; ; .

‘тало быть, при изменЯющейсЯ вдоль оси OY фазе колебаний j (y) излучение будет распространЯтьсЯ в направлении под углом q, определЯемым выписанным условием. …стественно, при неизменной фазе dj /dy = 0 и излучение направлено по нормали — в этом случае q = 0.

‹екциЯ 3

3.4. Џериодически расположенные точечные источники волн

ђассмотрим интересный и весьма важный длЯ практики случай, когда точечные источники волн расположены в виде цепочки. Џусть расстоЯние между источниками d составлЯет несколько длин волн и разность фаз колебаний равна нулю.

Џрименим ту же технику рассуждений, что и длЯ случаЯ тесного (непрерывного) расположениЯ точечных источников. ђассмотрим сначала нормальное к цепочке направление.

Ќа достаточно большом удалении от источников узкий (несколько расстоЯний между источниками) участок фронта кольцевой волны можно считать плоским (прЯмолинейным). ЉолебаниЯ от отдельных источников, расстоЯниЯ до которых примерно одинаковы, будут происходить в выделенной области наблюдениЯ в фазе, усиливаЯ друг друга. ‚ этом направлении будет распространЯтьсЯ плоскаЯ волна.

Ќо есть направлениЯ, в которых распространениЯ волны происходить не будет. Џопробует догадатьсЯ, каким может быть такое направление.

Ѓудем постепенно увеличивать угол q. Џри этом в достаточно удаленной от цепочки источников области наблюдениЯ станет нарастать разность фаз колебаний, вызванных разными источниками. Џусть при некотором значении угла q будет выполнЯтьсЯ условие ;, где N — количество источников в цепочке. …сли расстоЯние между источниками d порЯдка нескольких l и количество источников велико (например, более ста), значение угла q будет очень маленьким. Ќа рисунке этот угол показан достаточно большим, правдоподобно маленьким изобразить его нам не удастсЯ.

Џри этом условии колебаниЯ от первого источника волн и от источника с номером N/2 в области наблюдениЯ будут происходить в противофазе, погасЯт друг друга. ЉолебаниЯ от второго источника будут погашены колебаниЯми от источника с номером N/2+1 и т. д. ‘ледовательно, такаЯ цепочка будет излучать волну в пределах чрезвычайно малого угла ± q. Њы получим практически плоскую волну.

Ћднако, при выбранной нами величине расстоЯниЯ d порЯдка нескольких длин волн это не будет единственным направлением распространениЯ волны и, соответственно, потока энергии. «ействительно, если выполнЯетсЯ условие , где k — целое число, то колебаниЯ от отдельных источников в области наблюдениЯ будут происходить с разностью фаз 2p k, т. е. будут складыватьсЯ, усиливать друг друга. ‚ этих направлениЯх, как и в направлении нормали к линии расположениЯ источников (q = 0), будет распространЯтьсЯ примерно плоскаЯ волна. ќти направлениЯ называют направлениЯми на главные максимумы k-того порЯдка.

Ѓольшим значениЯм k соответствуют большие разности расстоЯний до области наблюдениЯ. …стественно, эта разность (разность хода) не может стать больше чем d. Џоэтому максимальное значение порЯдка максимума k определЯетсЯ условием .

«лЯ получениЯ узкого пучка радиоизлучениЯ используетсЯ антенна с расположенными в рЯд дипольными излучателЯми. …сли создать некоторую разность фаз колебаний соседних осциллЯторов, направлениЯ главного максимума нулевого порЯдка будет отличатьсЯ от нормали (этот эффект мы обсуждали длЯ тесного, непрерывного расположениЯ точечных источников). 'аким способом может быть осуществлено изменение направлениЯ радиоизлучениЯ (сканирование) без поворота антенны.

3.5. ђасчет углового распределениЯ потока энергии от системы источников 3.5.1. Ќепрерывное распределение источников

‚ случае возбуждениЯ волн на поверхности воды такое расположение точечных источников, колебаниЯ которых происходЯт в фазе, обеспечиваетсЯ вертикальными колебаниЯми параллельного поверхности воды стержнЯ. ђассмотрим излучение, вызванное колебаниЯми стержнЯ конечной длины, равной b.

Џоложение точечного источника определЯетсЯ его координатой x, амплитуда колебаний пропорциональна dx. —тобы найти амплитуду колебаний в удаленной от стержнЯ области наблюдениЯ необходимо провести сложение колебаний от всех источников (интегрирование по отрезку 0b): .

» нас получилось довольно громоздкое «многоэтажное» выражение, в смысле которого нам надо разобратьсЯ. ‚о-первых, из этого выражениЯ видно, что, как и должно было быть, в некоторой области (точке) наблюдениЯ происходЯт колебаниЯ с частотой w и некоторой начальной фазой. ‚ выражение длЯ амплитуды этих колебаний входит множитель x 0. ‚ принципе, он может быть выражен через амплитуду колебаний вблизи стержнЯ с помощью закона сохранениЯ энергии. Ќо он не представлЯет длЯ нас особого интереса, как и начальнаЯ фаза колебаний. Ќужное же нам угловое распределение потока энергии определЯетсЯ множителем .

‚ числителе этого выражениЯ стоит синус знаменателЯ. Џоэтому, если знаменатель обращаетсЯ в нуль при q = 0, будет A = 1. Џри изменении q в пределах ± p /2 величина периодически принимает нулевое значение и затем достигает максимумов. ‚еличина модулЯ A в максимуме по мере увеличении модулЯ q уменьшаетсЯ, поскольку синус от некоторой величины изменЯетсЯ медленнее, чем сама эта величина. ‚ид зависимости при разных отношениЯх b/l представлен на рисунке.

3.5.2. €злучение пары точечных источников

ђанее мы рассматривали суммарные колебаниЯ от системы точечных источников в некоторой достаточно удаленной области наблюдениЯ. Џри этом мы не определЯли, по сравнению с чем это удаление велико. ‘обственно, рассматриваЯ параллельные лучи, мы неЯвно считали, что область наблюдениЯ находитсЯ на бесконечности.

ђассмотрим теперь колебаниЯ от уединенного источника в точках плоскости, отстоЯщей от него на большое, но конечное расстоЯние l. Џри этом мы ограничимсЯ небольшим по сравнению с l смещением точки наблюдениЯ от точки падениЯ перпендикулЯра, проведенного от источника волн S к плоскости, при малых значениЯх x.

Џроведем от источника волн отрезок прЯмой в точку наблюдениЯ с координатой x и перпендикулЯр к оси координат. ‚еличина xS — это x-координата источника. Њы получили прЯмоугольный треугольник. Ћтложим от точки расположениЯ источника вдоль гипотенузы треугольника отрезок длиной l и соединим конец этого отрезка с точкой xS, точкой падениЯ перпендикулЯра. «гол при вершине построенного таким образом равнобедренного треугольника , а основание составлЯет с осью 0X угол q /2. 'аким образом, разность хода лучей .

‘оответственно, разность фаз колебаний в этих точках .

‚ этом выражении — разность x-координат точки наблюдениЯ и источника волн.

Џолученное выражение ЯвлЯетсЯ длЯ нас вспомогательным. Џрименим его длЯ решениЯ задачи об амплитуде колебаний, созданных двумЯ точечными источниками, расположенными на расстоЯнии d друг от друга и на расстоЯнии l от плоскости наблюдениЯ.

ђазность фаз колебаний, созданных нашими источниками в точке x,

.

‚ круглых скобках записаны разности x-координат точки наблюдениЯ иисточников волн. Џосле возведениЯ в квадрат мы получаем: .

Џроизведем сложение этих колебаний с помощью векторной диаграммы. «аза результирующих колебаний нас не интересует, а амплитуда принимает максимальные значениЯ 2x 0 в точках, отстоЯщих друг от друга на (при изменении аргумента косинуса на p). -ентральный максимум наблюдаетсЯ при x = 0.

3.5.3. €злучение цепочки периодически расположенных источников