Уравнение Кортевега - де Фриса

Здесь в качестве a и b выступают +Ґ и -Ґ для задачи Коши и границы основного периода для периодической задачи. Поэтому второе и третье слагаемые обращаются в 0.

(4.2)

Для вывода второго закона сохранения следует умножить уравнение (3.2) на 2 u (t, x) и проинтегрировать по пространственной переменной. Тогда, используя формулу интегрирования по частям получим:

но в силу «краевых» условий все слагаемые кроме первого опять сокращаются

Таким образом второй интегральный закон сохранения имеет вид:

(4.3)

Для вывода третьего закона сохранения нужно умножить наше уравнение (3.2) на 2 + 2b ихх), таким образом получим:

После применения несколько раз интегрирования по частям третий и четвертый интегралы сокращаются. Второе и третье слагаемые исчезают из-за граничных условий. Таким образом из первого интеграла получаем:

что эквивалентно

(4.4)

А это и есть третий закон сохранения для уравнения (3.2). Под физическим смыслом первых двух интегральных законов сохранения в некоторых моделях можно понимать законы сохранения импульса и энергии, для третьего и последующих законов сохранения физический смысл охарактеризовать уже труднее, но с точки зрения математики эти законы дают дополнительную информацию о решении, которая используется потом для доказательств теорем существования и единственности решения, исследования его свойств и вывода априорных оценок.

5. Разностные схемы для решения уравнения КдФ

3.1. Обозначения и постановка разностной задачи. В области ={(x, t):0Ј xЈ l, 0Ј tЈ T} обычным образом введем равномерные сетки, где

Введем линейное пространство Wh сеточных функций, определенных на сетке со значениями в узлах сетки yi=yh(xi). Предполагается, что выполнены условия периодичности y0=yN. Кроме того, формально полагаем yi+N=yi для i і 1.

Введем скалярное произведение в пространстве Wh

(5.1)

Поскольку в пространство Wh входят периодические функции, то это скалярное произведение эквивалентно скалярному произведению:

Будем строить разностные схемы для уравнения (3.2) на сетке с периодическими краевыми условиями. Нам потребуются обозначения разностных аппроксимаций. Введем их.

Используем стандартные обозначения для решения уравнения на очередном (n-м) временном слое, то есть

Введем обозначения для разностных аппроксимаций производных. Для первой производной по времени:

Аналогично для первой производной по пространству:

Теперь введем обозначения для вторых производных:

Третью пространственную производную будем аппроксимировать следующим образом:

Также нам потребуется аппроксимация у2, которую мы обозначим буквой Q и введем следующим образом:

(5.2)

Для записи уравнения на полу целых слоях будем использовать уравновешенную аппроксимацию, т. е.

за исключением аппроксимации у2 на полу целом слое. Приведем одну из возможных аппроксимаций у2на полу целом слое:

Замечание 2. Стоит отметить, что для 1выполняется равенство:

Определение 1.Следуя [19] разностную схему для уравнения КдФ будем называть консервативной, если для нее имеет место сеточный аналог первого интегрального закона сохранения, справедливого для дифференциальной задачи.

Определение 2.Следуя [19] разностную схему для уравнения КдФ будем называть L2-консервативной, если для нее имеет место сеточный аналог второго интегрального закона сохранения, справедливого для дифференциальной задачи.

5.2. Явные разностные схемы (обзор). При построении разностных схем будем ориентироваться на простейшую разностную схему из работы [19] для линеаризованного уравнения КдФ, которое сохраняет свойства самого уравнения КдФ в смысле двух первых законов сохранения.

(5.3)

Исследуем теперь схему (5.4) на свойства консервативности. Выполнение первого закона сохранения очевидно. Достаточно просто умножить это уравнение скалярно на 1. Тогда второе и третье слагаемые схемы (5.4) дадут 0, а от первого останется: