Из тела находящегося в плоском напряженном состоянии, выделена пластина, толщина которой 1 см, размеры в плане 20×20 см.

Задаваясь функцией напряжений, общий вид которой

Ф (х, у)=а₁х³у+а₂х³+а₃х²у+а₄х²+а₅ху+а₆у²+а₇ху²+а₈у³+а₉ху³

Принять два коэффициента функции согласно таблиц 1 и 2, остальные шесть коэффициентов принять равными нулю. В этих же таблицах даны значения модуля упругости Е и коэффициента Пуассона для материала пластины.

Найти общие выражения для напряжений s_х, s_у, t_ху (объемные силы не учитывать) и построить эпюры этих напряжений для контура пластины.

Определить выражения для перемещений U и V. Показать графически (на миллиметровке) перемещение пластины в результате деформирования, определив компоненты перемещений U и V в девяти точках, указанных на схеме. Для наглядности изображения для перемещений выбрать более крупный масштаб, чем масштаб длин. Значение U и V свести в таблицу.

Дано: а₃=1/3, а₄= 1

Е=0,69*10⁶ кг/см²

n=0,33

Решение:

1.Проверим, удовлетворяет ли функция напряжений бигармоническому уравнению.

Ф (х, у)=

Поскольку производные

-бигармоническое уравнение удовлетворяется.

2.Определяем компоненты по формулам Эри, принимая объемные силы равными нулю.

s_х=

s_у=

t_ху=

3.Строим эпюры напряжений для контура пластины согласно полученным аналитическим напряжениям.

4.Проверяем равновесие пластины

Уравненения равновесия:

Sх=0 -Т₅+Т₆=0 > 0=0

Sy=0 Т₄+Т₃+Т₂-Т₁-N₂+N₁=0 > 0=0

SM=0 M (T₄T₃)=-M (T₂T₁) > 0=0

удовлетворяется, т. е. пластина находится в равновесии.

5.Для точки, А с координатами (5,-5) найти величины главных напряжений и положение главных осей для точки А.

В этой точке напряжения в основных площадках. s_х=0, s_у=-1,33, t_ху=3,33,

Найдем главное напряжение по формуле:

=-0,665±3,396 кгс/см²

s_max=s_I=2,731 МПа

s_min=s_II= -4,061 МПа

Находим направление главных осей.

a_I=39,36^o

a_II=-50,64^o

6.Определяем компоненты деформации

7.Находим компоненты перемещений

Интегрируем полученные выражения

j(у), y(х) -некоторые функции интегрирования

или

После интегрирования получим

где с₁ и с₂ — постоянные интегрирования

С учетом получения выражений для j(у) и y(х) компоненты перемещений имеет вид

Постоянные с₁, с₂, и с определяем из условий закрепления пластины:

1) v =0 или

2) v =0 или

3) u =0 или

Окончательные выражения для функций перемещений u и v

Покажем деформированное состояние пластины определив для этого перемещение в 9-ти точках.

Масштаб

• длин: в 1см — 2 см

• перемещений: в 1см — 1*10^-4см