Кинетическое уравнение Больцмана
§ 3 Îïðåäåëåíèå âèäà èíòåãðàëà ñòîëêíîâåíèé
è óðàâíåíèÿ Áîëüöìàíà.
§ 4. Êèíåòè÷åñêîå óðàâíåíèå äëÿ ñëàáî íåîäíîðîäíîãî ãàçà.
Òåïëîïðîâîäíîñòü ãàçà.
Некоторые условные обозначения:
n - концентрация частиц;
d - среднее расстояние между частицами;
V — некоторый объём системы;
P - вероятность некоторого события;
f - функция распределения;
Ââåäåíèå.
Ðàçäåëû ôèçèêè òåðìîäèíàìèêà, ñòàòèñòè÷åñêàÿ ôèçèêà è ôèçè÷åñêàÿ êèíåòèêà çàíèìàþòñÿ èçó÷åíèåì ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ, ïðîèñõîäÿùèõ â ìàêðîñêîïè÷åñêèõ ñèñòåìàõ - òåëàõ, ñîñòîÿùèõ èç áîëüøîãî ÷èñëà ìèêðî÷àñòèö.  çàâèñèìîñòè îò âèäà ñèñòåìû òàêèìè ìèêðî÷àñòèöàìè ìîãóò ÿâëÿòüñÿ àòîìû, ìîëåêóëû, èîíû, ýëåêòðîíû, ôîòîíû èëè èíûå ÷àñòèöû. Íà ñåãîäíÿøíèé äåíü ñóùåñòâóþò äâà îñíîâíûõ ìåòîäà èññëåäîâàíèÿ ñîñòîÿíèé ìàêðîñêîïè÷åñêèõ ñèñòåì - òåðìîäèíàìè÷åñêèé, õàðàêòåðèçóþùèé ñîñòîÿíèå ñèñòåìû ÷åðåç ìàêðîñêîïè÷åñêèå ëåãêî èçìåðÿåìûå ïàðàìåòðû (íàïðèìåð, äàâëåíèå, îáú¸ì, òåìïåðàòóðà, количество молей или концентрация вещества) è, ïî ñóòè, íå ó÷èòûâàþùèé àòîìíî-ìîëåêóëÿðíóþ ñòðóêòóðó âåùåñòâà, è ñòàòèñòè÷åñêèé ìåòîä, îñíîâàííûé íà àòîìíî-ìîëåêóëÿðíîé ìîäåëè ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû. Òåðìîäèíàìè÷åñêèé ìåòîä íå áóäåò çàòðàãèâàòüñÿ â äàííîé ðàáîòå. Ïî èçâåñòíûì çàêîíàì ïîâåäåíèÿ ÷àñòèö ñèñòåìû ñòàòèñòè÷åñêèé ìåòîä ïîçâîëÿåò óñòàíîâèòü çàêîíû ïîâåäåíèÿ âñåé ìàêðîñèñòåìû â öåëîì. Ñ öåëüþ óïðîùåíèÿ ðåøàåìîé çàäà÷è ïðè ñòàòèñòè÷åñêîì ïîäõîäå äåëàåòñÿ ðÿä ïðåäïîëîæåíèé (äîïóùåíèé) î ïîâåäåíèè ìèêðî÷àñòèö è, ñëåäîâàòåëüíî, ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå ñòàòìåòîäîì, ñïðàâåäëèâû ëèøü â ïðåäåëàõ ñäåëàííûõ äîïóùåíèé. Ñòàòèñòè÷åñêèé ìåòîä èñïîëüçóåò âåðîÿòíîñòíûé ïîäõîä ê ðåøåíèþ çàäà÷, äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ ýòîãî ìåòîäà ñèñòåìà îáÿçàíà ñîäåðæàòü äîñòàòî÷íî áîëüøîå êîëè÷åñòâî ÷àñòèö. Îäíà èç çàäà÷, ðåøàåìàÿ ñòàòìåòîäîì, — âûâîä óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ ìàêðîñêîïè÷åñêîé ñèñòåìû. Ñîñòîÿíèå ñèñòåìû ìîæåò áûòü íåèçìåííûì âî âðåìåíè (ðàâíîâåñíàÿ ñèñòåìà) ëèáî ìîæåò èçìåíÿòüñÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè (íåðàâíîâåñíàÿ ñèñòåìà). Èçó÷åíèåì íåðàâíîâåñíûõ ñîñòîÿíèé ñèñòåì è ïðîöåññîâ, ïðîèñõîäÿùèõ â òàêèõ ñèñòåìàõ, çàíèìàåòñÿ ôèçè÷åñêàÿ êèíåòèêà.
Óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ ðàçâèâàþùåéñÿ âî âðåìåíè ñèñòåìû ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êèíåòè÷åñêîå óðàâíåíèå, ðåøåíèå êîòîðîãî îïðåäåëÿåò ñîñòîÿíèå ñèñòåìû â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè. Èíòåðåñ ê êèíåòè÷åñêèì óðàâíåíèÿì ñâÿçàí ñ âîçìîæíîñòüþ èõ ïðèìåíåíèÿ â ðàçëè÷íûõ îáëàñòÿõ ôèçèêè: â êèíåòè÷åñêîé òåîðèè ãàçà, â àñòðîôèçèêå, ôèçèêå ïëàçìû, ìåõàíèêå æèäêîñòåé. В данной работе рассматривается кинетическое уравнение, выведенное одним из основоположников статистической физики и физической кинетики австрийским физиком Людвигом Больцманом в 1872 году и носящее его имя.
§ 1 Функция распределения.
Для вывода кинетического уравнения Больцмана рассмотрим одноатомный идеальный газ,
— частицы газа неразличимы (одинаковы);
— частицы сталкиваются только попарно (пренебрегаем столкновением одновременно трех и более частиц);
— непосредственно перед столкновением частицы движутся по одной прямой навстречу друг другу;
— столкновение молекул есть прямой центральный упругий удар;