Кинетическое уравнение Больцмана

§ 3 Îïðåäåëåíèå âèäà èíòåãðàëà ñòîëêíîâåíèé

è óðàâíåíèÿ Áîëüöìàíà.

§ 4. Êèíåòè÷åñêîå óðàâíåíèå äëÿ ñëàáî íåîäíîðîäíîãî ãàçà.

Òåïëîïðîâîäíîñòü ãàçà.

Некоторые условные обозначения:

n - концентрация частиц;

d - среднее расстояние между частицами;

V — некоторый объём системы;

P - вероятность некоторого события;

f - функция распределения;

Ââåäåíèå.

Ðàçäåëû ôèçèêè òåðìîäèíàìèêà, ñòàòèñòè÷åñêàÿ ôèçèêà è ôèçè÷åñêàÿ êèíåòèêà çàíèìàþòñÿ èçó÷åíèåì ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ, ïðîèñõîäÿùèõ â ìàêðîñêîïè÷åñêèõ ñèñòåìàõ - òåëàõ, ñîñòîÿùèõ èç áîëüøîãî ÷èñëà ìèêðî÷àñòèö.  çàâèñèìîñòè îò âèäà ñèñòåìû òàêèìè ìèêðî÷àñòèöàìè ìîãóò ÿâëÿòüñÿ àòîìû, ìîëåêóëû, èîíû, ýëåêòðîíû, ôîòîíû èëè èíûå ÷àñòèöû. Íà ñåãîäíÿøíèé äåíü ñóùåñòâóþò äâà îñíîâíûõ ìåòîäà èññëåäîâàíèÿ ñîñòîÿíèé ìàêðîñêîïè÷åñêèõ ñèñòåì - òåðìîäèíàìè÷åñêèé, õàðàêòåðèçóþùèé ñîñòîÿíèå ñèñòåìû ÷åðåç ìàêðîñêîïè÷åñêèå ëåãêî èçìåðÿåìûå ïàðàìåòðû (íàïðèìåð, äàâëåíèå, îáú¸ì, òåìïåðàòóðà, количество молей или концентрация вещества) è, ïî ñóòè, íå ó÷èòûâàþùèé àòîìíî-ìîëåêóëÿðíóþ ñòðóêòóðó âåùåñòâà, è ñòàòèñòè÷åñêèé ìåòîä, îñíîâàííûé íà àòîìíî-ìîëåêóëÿðíîé ìîäåëè ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû. Òåðìîäèíàìè÷åñêèé ìåòîä íå áóäåò çàòðàãèâàòüñÿ â äàííîé ðàáîòå. Ïî èçâåñòíûì çàêîíàì ïîâåäåíèÿ ÷àñòèö ñèñòåìû ñòàòèñòè÷åñêèé ìåòîä ïîçâîëÿåò óñòàíîâèòü çàêîíû ïîâåäåíèÿ âñåé ìàêðîñèñòåìû â öåëîì. Ñ öåëüþ óïðîùåíèÿ ðåøàåìîé çàäà÷è ïðè ñòàòèñòè÷åñêîì ïîäõîäå äåëàåòñÿ ðÿä ïðåäïîëîæåíèé (äîïóùåíèé) î ïîâåäåíèè ìèêðî÷àñòèö è, ñëåäîâàòåëüíî, ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå ñòàòìåòîäîì, ñïðàâåäëèâû ëèøü â ïðåäåëàõ ñäåëàííûõ äîïóùåíèé. Ñòàòèñòè÷åñêèé ìåòîä èñïîëüçóåò âåðîÿòíîñòíûé ïîäõîä ê ðåøåíèþ çàäà÷, äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ ýòîãî ìåòîäà ñèñòåìà îáÿçàíà ñîäåðæàòü äîñòàòî÷íî áîëüøîå êîëè÷åñòâî ÷àñòèö. Îäíà èç çàäà÷, ðåøàåìàÿ ñòàòìåòîäîì, — âûâîä óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ ìàêðîñêîïè÷åñêîé ñèñòåìû. Ñîñòîÿíèå ñèñòåìû ìîæåò áûòü íåèçìåííûì âî âðåìåíè (ðàâíîâåñíàÿ ñèñòåìà) ëèáî ìîæåò èçìåíÿòüñÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè (íåðàâíîâåñíàÿ ñèñòåìà). Èçó÷åíèåì íåðàâíîâåñíûõ ñîñòîÿíèé ñèñòåì è ïðîöåññîâ, ïðîèñõîäÿùèõ â òàêèõ ñèñòåìàõ, çàíèìàåòñÿ ôèçè÷åñêàÿ êèíåòèêà.

Óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ ðàçâèâàþùåéñÿ âî âðåìåíè ñèñòåìû ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êèíåòè÷åñêîå óðàâíåíèå, ðåøåíèå êîòîðîãî îïðåäåëÿåò ñîñòîÿíèå ñèñòåìû â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè. Èíòåðåñ ê êèíåòè÷åñêèì óðàâíåíèÿì ñâÿçàí ñ âîçìîæíîñòüþ èõ ïðèìåíåíèÿ â ðàçëè÷íûõ îáëàñòÿõ ôèçèêè: â êèíåòè÷åñêîé òåîðèè ãàçà, â àñòðîôèçèêå, ôèçèêå ïëàçìû, ìåõàíèêå æèäêîñòåé. В данной работе рассматривается кинетическое уравнение, выведенное одним из основоположников статистической физики и физической кинетики австрийским физиком Людвигом Больцманом в 1872 году и носящее его имя.

§ 1 Функция распределения.

Для вывода кинетического уравнения Больцмана рассмотрим одноатомный идеальный газ, т. е. достаточно разряженный газ, состоящий из электрически нейтральных атомов или молекул. Единственным видом взаимодействия между частицами идеального газа являются столкновения между молекулами, происходящие, однако, настолько редко, что каждая молекула почти всё время движется как свободная. Рассматривая частицы газа как классические, можно утверждать, что на одну частицу приходиться объём. Число частиц в единице объёма есть концентрация . Значит среднее расстояние между частицами есть (предполагается достаточно большим по сравнению с радиусом действия межмолекулярных сил d). При получении уравнения Больцмана сделаем следующие предположения:

—  частицы газа неразличимы (одинаковы);

— частицы сталкиваются только попарно (пренебрегаем столкновением одновременно трех и более частиц);

—  непосредственно перед столкновением частицы движутся по одной прямой навстречу друг другу;

—  столкновение молекул есть прямой центральный упругий удар;