Задачи Циолковского
Рассмотрим две задачи Циолковского: прямолинейное движение точки переменной массы под действием только одной реактивной силы и вертикальное движение точки вблизи Земли в однородном поле силы тяжести. Эти задачи впервые рассматривались К. Э. Циолковским.
Первая задача Циолковского
Пусть точка переменной массы или ракета движется прямолинейно в таком называемом, по терминологии Циолковского, свободном пространстве под действием только одной реактивной силы. Считаем, что относительная скорость, отделения частиц постоянна и направлена в сторону, противоположную скорости движения точки переменной массы (рис. 1). Тогда, проецируя на ось Ох, направленную по скорости движения точки, дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки переменной массы принимает вид
.
Разделяя переменные и беря интегралы от обеих частей, имеем
,
где — начальная скорость, направленная по реактивной силе; —начальная масса точки.
Выполняя интегрирование, получаем
. (14)
Если в формулу (14) подставить значения величин, характеризующих конец горения, когда масса точки (ракеты) состоит только из массы несгоревшей части (массы приборов и корпуса ракеты), то, обозначая через т массу топлива, для скорости движения v1 в конце горения имеем
.
Вводя ч и с л о Ц и о л к о в с к о г о Z==m/Mp, получаем следующую формулу Циолковского:
. (15)
Из формулы Циолковского следует, что скорость в конце горения не зависит от закона горения,
Современные химические топлива позволяют получать скорости истечения газа из сопла реактивного двигателя порядка 2…2,3 км/с. Создание ионного и фотонного двигателей позволит значительно увеличить эту скорость. Другой путь увеличения скорости ракеты в конце горения связан с увеличением так называемой массовой, или весовой, отдачи ракеты,
Для определения уравнения движения точки переменной массы из (14) имеем
,
или, выполняя интегрирование после разделения переменных и считая х=0 при t=0, получаем
. (16)
В теоретических работах по ракетодинамике обычно рассматривают два закона изменения массы: линейный и показательный. При линейном законе масса точки с течением времени изменяется так:
M=M0 (1-at), (17)
где a=const (a—удельный расход), а М0—масса точки в начальный момент времени.
При показательном законе изменение массы
. (18)
Выполняя интегрирование в (16) при линейном законе изменения массы (17), получаем следующее уравнение движения:
. (19)
При показательном законе изменения массы (18) соответственно
. (20)
Отметим, что при линейном законе изменения массы (17), если =const, секундный расход массы
(- dM/dt) =aM0 = const
и реактивная сила
= const.
При показательном законе секундный расход массы и реактивная сила являются переменными, но ускорение точки переменной массы, вызванное действием на точку одной реактивной силы, является постоянным,
=const.