Математическая мифология и пангеометризм

Числители выписанных дробей относятся к области подлинного бытия, а знаменатели — к области чувственно воспринимаемого (зримого). Метафизическую связь между мышлением, идеями и Благом, предлагается понимать по аналогии с тем, как связаны между собой зрение, видимые с его помощью вещи и, только и делающие возможным существование зрения и видимого мира, Солнце и его свет. Наша душа, погрязшая в чувственном мире, и наш язык, приспособленный преимущественно к выражению предметов и отношений этого мира, позволяет нам с помощью такой пропорции представить, до некоторой степени, и сверхчувственное отношение сверхчувственных предметов. В этом и состоит, по всей видимости, главный смысл, как приведенного построения, так и всего мифа о пещере, в который это построение разрастается в VII книге.

Во-вторых, в тех же книгах «Государства» мы находим ответ не только на вопрос о функции платоновского мифа вообще, но и о специфической притягательности именно математического мифа. Имеется в виду знаменитое учение о срединном положении математики, и вытекающей отсюда исключительной роли последней в процессе восхождения души от мира чувственного к миру подлинному. Как разъясняют нам Платон и Прокл, математические конструкции ближе к миру подлинному, более совершенны и более устойчивы, чем текучие образы чувственного мира, однако не полностью свободны от материальности (hyle phantaston), что и позволяет строить на их основе миф, но миф более правдоподобный, более адекватный реалиям подлинного мира.

Ступень математическая — промежуточная ступень лестницы, за которой следует диалектика. Однако (чего часто не замечают!), переход на ступень диалектики вовсе не означает у Платона отказ от всего того, что имелось на ступени математики. При этом переходе необходимо должно происходить осознание и осмысление тех предпосылок, которые оставались неосознанными и неосмысленными на предыдущей ступени, но математические дисциплины признаются «помощниками и попутчиками» (Платон) диалектического метода, его «подспорьем и азбукой» (Алкиной).

В качестве весьма выразительного примера можно указать на последний трактат «Эннеад» Плотина. Трактат «О благе или едином», по самой своей тематике, особенно ярко обнаруживает двойственное отношение к математике (обусловленное промежуточностью ее статуса) характерное для платоников.

С одной стороны, наставляя тех, кто желает философствовать о едином, Плотин требует «созерцать единое, не присоединив ни одного чувствования и ничего от оного не принимая в него-то, но созерцать чистейшее чистым умом и тем, что в уме первое». «Стало быть, — продолжает Плотин, — когда приступивший к созерцанию вот такого воображает у этой природы или величину, или фигуру, или массу, не ум становится проводником ему в созерцании, потому что не уму прирождено видеть таковые, а это — деятельность чувствования и мнения, следующего за чувствованием» [22, с.219; курсив мой]. Итак, приступая к рассмотрению единого, следует отринуть всякие образы (как собственно чувственные, так и математические), ведь единое безвидно, чуждо всякого образа (aneideos).

С другой стороны, читая трактат далее, мы обнаруживаем, что Плотин активно привлекает различные образы, в особенности математические, и именно чтобы говорить (= мыслить) о едином. Здесь возникают образы геометрической точки и арифметической единицы. Предмет рассмотрения трактата, говорит Плотин, мы называем «единым и нераздельным не так, как мы называем точку или единицу; ибо те, что суть единое таким образом, — начала количества, которое бы не существовало, не будь прежде него сущности и того, что прежде сущности (итак, не нужно вперять сюда мысль); однако первые всегда подобны последним в соответствиях (аналогичны — В.Ш.) по простоте и избеганию множества и деления» [22, с.221; курсив мой].

Далее эта мысль развивается. Развитием (эманацией) образа точки оказывается образ круга, а затем и сферы (сама же точка выступает теперь как центр). Душа, пишет Плотин, «знает, что ее движение не прямолинейное, ну разве лишь тогда, когда бы оно претерпело отклонение, свойственное же ей по природе движение такое, как движение по кругу (1)не вокруг чего-то вовне, а вокруг центра, центр же — то, от чего происходит круг, то она будет двигаться вокруг этого, от коего происходит, и будет зависеть от этого, привлекая себя к тому самому, к коему пристало влечься всем душам <…>. Ну, а этот как бы центр души есть ли искомое? Или следует признать нечто другое, в чем все как бы центры совпадают? И признать, что это — „центр“ по аналогии со здешним кругом? И не оттого, что душа — круг так, как фигура, но потому, что в ней и вокруг нее древняя природа, и потому, что она происходит от „такового“, а еще более и потому, что души отделены целиком. Ныне же, когда часть нас удерживается телом, как если бы кто-то держал ноги в воде, остальным же телом вздымался, мы поднявшись кверху тем-то, что не притоплено телом, этим-то соприкасаемся в центре самих себя с как бы центром всего так же, как центры наибольших кругов соприкасаются с центром объемлющей сферы, и отдыхаем. Ну, а если бы круги были телесными, а не душевными, то они пространственно соприкасались бы с центром и, раз центр расположен где-то, были бы вокруг него; но коль скоро и сами души умопостигаемы, и „то“ превыше ума, должно полагать, что соприкосновение происходит благодаря другим силам» [22, с.223; курсив мой].

Те же геометрические образы Плотин использует и далее: «Так вот, тогда видящий и не видит, и не различает, и не представляет себе двух, а, словно став другим, он, и не сам, и не свой, относится туда, и, став „того“, он есть единое, как бы совместивцентр с центром. И ведь здесь центры суть единое, совпав, и — двоица, когда они порознь. Так и мы ныне называем „то“ иным. Потому-то и трудновыразимо зрелище. Ведь как кто-либо смог бы поведать о „том“ как ином, узрев там, когда он созерцал, не иное, а единое с собой самим?» [22, с.225; курсив мой].

Что же получается? Плотин забыл о собственных увещаниях? — Нет. Более того, он неоднократно повторяет их вперемешку с приведенными выше рассуждениями, использующими образы единицы, точки, круга, сферы (и ее больших кругов). Кроме того, и в самих этих рассуждениях он постоянно делает оговорки: «не нужно вперять сюда мысль», «как бы центр», «„центр“ по аналогии», «не оттого, что душа — круг, как фигура» и многие другие. Всю же ситуацию он в конце трактата разъясняет следующим сравнением: стремящийся к постижению единого «совсем как некто, вошедший вовнутрь святилища и оставивший позади изваяния в храме, которые вышедшему из святилища опять предстают первыми после зрелища внутри и общения там не с изваянием и не с образом, а с „самим“, и которые, стало быть, оказываются последующими зрелищами. <…> Ну, а эти зрелища — подобия; и потому мудрым из прорицателей они намекают, как тот бог зрится; мудрый же жрец, уразумевший намек, мог бы, оказавшись там в святилище, сделать созерцание истинным» [22, с.225].

Все становится на свои места, когда мы начинаем понимать, что для Плотина есть две математики (равно как и два отношения к чувственно воспринимаемому). Одну из них он отвергает, тогда, как другую приемлет. Это те самые две математики, которые столь настоятельно противопоставляет Платон в «Государстве» [21, с.304−315] - «торгашеская» математика и математика философская, математика сама по себе (или даже ориентированная на технические приложения и получение мирской выгоды) и математика как «подспорье и азбука» диалектики (как математическая диалектика или диалектическая математика). Другими словами, как Платон, так и Плотин отвергают математические образы как таковые и приветствуют их в качестве элемента мифа. Подлинная математика для них — это математический миф, это те изваяния в храме, которые окружают святилище (2) .

Еще более отчетливое выражение этих же мыслей находим у Николая Кузанского, полагавшего, что именно математика «лучше всего помогает нам в понимании разнообразных Божественных истин». Рассуждает он следующим образом: «Видимое поистине есть образ невидимого», и Творца «можно увидеть по творению как бы в зеркале и подобии». Если же «разыскание ведется все-таки исходя из подобий, нужно, чтобы в том образе, отталкиваясь от которого мы переносимся к неизвестному, не было по крайней мере ничего двусмысленного; ведь путь к неизвестному может идти только через заранее и несомненно известное. Но все чувственное пребывает в какой-то постоянной шаткости ввиду изобилия в нем материальной возможности. Самыми надежными и самыми для нас несомненными оказываются поэтому сущности более абстрактные, в которых мы отвлекаемся от чувственных вещей, — сущности, которые и не совсем лишены материальных опор, без чего их было бы нельзя вообразить, и не совсем подвержены текучей возможности. Таковы математические предметы». Поэтому, «если приступить к Божественному нам дано только через символы, то всего удобнее воспользоваться математическими знаками из-за их непреходящей достоверности» [18, с.64−66].

К математической мифологии могут быть отнесены знаменитые рассуждения Николая Кузанского в «De docta ignorantia», использующие динамические возможности геометрических фигур: шар бесконечного радиуса, центр которого везде, а периферия — нигде; многоугольник, вписанный в круг, число углов которого неограниченно увеличивается; совпадение бесконечной прямой и окружности бесконечного радиуса и т. п.

Обратим внимание, что математические конструкции, став частью мифа, начинают жить особой жизнью. Здесь могут возникать, да и в действительности возникают, рассуждения, выглядящие совершенно чудовищно для человека непривычного к подобному стилю мышления. Достаточно вспомнить уже упомянутые рассуждения Платона о правильных многогранниках, или многочисленные аргументы в пользу совершенства декады в «Теологуменах арифметики», восходящие к Спевсиппу, а возможно и к Филолаю или даже ранним пифагорейцам [38, с.417−418].

Об особенностях соответствующего взгляда на математику мы поговорим чуть ниже, а сейчас посмотрим на некоторые более близкие и привычные для нас способы обращения с математическими конструкциями, находящиеся, тем не менее, в самом тесном родстве с математической мифологией.

2. Вырождение математической мифологии: математические

конструкции как парадигмальные схемы.

Начнем с нескольких примеров, заимствованных у Лейбница.