Геометрия Лобачевского

Наконец, все остальные прямые пучка, образующие с АР с какой-либо стороны острый угол, меньше угла параллельности a, называются пересекающими прямую BB' или сходящимися с BB' .

Необходимо обратить внимание, что геометрия Лобачевского при указание, то прямая СС' параллельно прямой BB', является совершенно обязательным также указывать, во-первых, в каком направление CC' параллельно BB', во-вторых, в какой точке, ибо у нас пока нет уверенности в том, что если мы на прямой CC' возьмём какую-нибудь точку М, отличную от, А, то и по отношению к пучку прямых с центра в точке М прямая СС' будет граничной прямой.

Определение.Прямая С’C называется параллельной прямой в направление B’B в точке А, если, во-первых, прямая С’C не пересекает прямой BB', во-вторых, C’C является граничной в пучке прямых с центром в точке А, т. е. всякий луч АЕ, проходящий внутри угла CAD, где D-любая точка прямой BB', пересекает луч DB.

Условимся в целях краткости и удобства обозначать параллельность прямой АА' к BB’в направление B’B символом AA' êê B’B, где порядок букв указывает направление параллельности. На чертеже направление параллельности указывается стрелками.

Теорема1. Если прямая ВВ'êêАА' в точке М, то ВВ'êêАА' в любой своей точке N.

Теорема 2.Если ВВ'êêАА', то и обратно: АА'êêВВ'.

Теорема 3. Если АА'êêСС' и ВВ'êêСС', то АА'êêВВ'.

Теорема 4. Если прямая CC' лежит между двумя прямыми АА' и BB', параллельными в некотором направление, не пересекая их, то CC’параллельна обеим этим прямым в том же направлении.

Теорема 5.Если две прямые при пересечении с третьей образуют равные соответственные углы, или внутренние односторонние углы, в сумме составляющие 2d, то эти прямые расходятся.

Задача 902.(Сборник задач — Атанасян, ч.2) Пусть (U1V1) êê(U2V2). Доказать, что если прямая (UV) лежит между (U1V1) и (U2V2) и не пересекает одну из них, то она параллельна данным.

Действительно, отрезок U1U2, соединяющий любые точки U1 и U2 параллельных прямых U2V2 и U1V1, пересечет UV в некоторой точке U, ибо UV по условию лежит между U2V2 и U1V1 (теорема 1.18).

В силу параллельности U2V2 и U1V1 любой луч U2E, проходящий внутри угла V2U2U1, пересечёт U1V1, а значит, и UV. Следовательно, U2V2 êêUV. Пользуясь теоремами 2 и 3, легко убедиться, что U1V1êêUV.

Интересно отметить, что в геометрии Лобачевского прямая может пересечь две параллельные, не пересекая третьей. Действительно, например, любая прямая EF, расходящаяся с АА', пересекает СС’и BB', не пересекая АА'.