История развития механики

åj (Fj — mj d2rj / dt2) drj= 0; (2.13) если раскрыть скалярное произведение, то получим уравнение (2.12) (за исключением знаков в скобках).

Таким образом, продолжая труды Эйлера, Лагранж завершил аналитическое оформление динамики свободной и несвободной системы точек и дал многочисленные примеры, иллюстрирующие практическую мощь этих методов. Исходя из «общей формулы динамики», Лагранж указал две основные формы дифференциальных уравнений движения несвободной системы, носящие ныне его имя: «уравнения Лагранжа первого рода» и уравнения в обобщенных координатах, или «уравнение Лагранжа второго рода». Что навело Лагранжа на уравнения в обобщенных координатах? Лагранж в своих работах по механике, в том числе и по небесной механике, определял положение системы, в частности, твердого тела различными параметрами (линейными, угловыми или их комбинацией). Для такого гениального математика, каким был Лагранж, естественно встала проблема обобщения — перейти к произвольным, не конкретизированным параметрам. Это и привело его к дифференциальным уравнениям в обобщенных координатах. Лагранж назвал их «дифференциальные уравнения для решения всех проблем механики», теперь мы называем их уравнениями Лагранжа II рода:

d / dt ¶L / ¶qj — ¶L / ¶qj = 0 (L = T — П).

Подавляющее большинство решенных в «Аналитической механике» задач отражает технические проблемы того времени. С этой точки зрения необходимо особо выделить группу важнейших задач динамики, объединенные Лагранжем под общим наименованием «О малых колебаниях любой системы тел». Этот раздел представляет собой основу современной теории колебаний. Рассматривая малые движения, Лагранж показал, что любое такое движение можно представить как результат наложения друг на друга простых гармонических колебаний.

Механика XIX и начала XX вв. «Аналитическая механика» Лагранжа подвела итог достижениям теоретической механики XVIII в. и определила следующие главные направления ее развития:

1) расширение понятия связей и обобщение основных уравнений динамики несвободной системы для новых видов связей;

2) формулировка вариационных принципов динамики и принципа сохранения механической энергии;

3) разработка методов интегрирования уравнений динамики.

Параллельно с этим выдвигались и были разрешены новые фундаментальные задачи механики. Для дальнейшего развития принципов механики основополагающими были работы выдающегося русского ученого М. В. Остроградского (1801 — 1861). Он первый рассмотрел связи, зависящие от времени, ввел новое понятие о неудерживающих связях, т. е. связях, выражающихся аналитически при помощи неравенств, и обобщил на случай такого рода связей принцип возможных перемещений и общее уравнение динамики. Остроградскому принадлежит также приоритет в рассмотрении дифференциальных связей, накладывающих ограничения на скорости точек системы; аналитически такие связи выражаются при помощи неинтегрируемых дифференциальных равенств или неравенств.

Естественным дополнением, расширяющим область применения принципа Д’Аламбера, явилось предложенное Остроградским приложение принципа к системам, подверженным действию мгновенных и импульсных сил, возникающих при действии на систему ударов. Такого рода ударные явления Остроградский рассматривал, как результат мгновенного уничтожения связей или мгновенного введения в систему новых связей.