Аналитическая геометрия

Теорема 16.1: через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной и только одну.

Замечание: утверждение единственности в теореме 16.1 не является простым следствием аксиомы параллельных, так как этой аксиомой утверждается единственность прямой, параллельной данной в данной плоскости. Поэтому она требует доказательства.

Доказательство: пусть, а — данная прямая и, А — точка, не лежащая на этой прямой. Проведем через прямую и точку плоскость a. Проведем через точку, А в плоскости a прямую а1, параллельную а. Докажем, что прямая а1, параллельная а, единственна. Допустим, что существует другая прямая а2, проходящая через точку, А и параллельная прямой а. Через прямые, а и а2 можно провести плоскость a2. Плоскость a2 проходит через прямую, а и точку А, следовательно по теореме 15.1 она совпадает с a. Теперь по аксиоме параллельных прямые а1 и а2 совпадают. Теорема доказана.

Площадь сферы. (Вывод формулы): Площадь поверхности сферы — предел отношения объема слоя, покрывающего поверхность, к толщине этого слоя, если толщина этого стремиться к нулю.

Билет є3.

Прямая, параллельная плоскости: Пряма и плоскость называются параллельными, если они не пересекаются.

Теорема 16.3: если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Доказательство: пусть a — плоскость и, а — не лежащая в ней прямая и а1 — прямая в плоскости a, параллельная прямой а. Проведем плоскость b через прямые, а и а1. Плоскости a и b пересекаются по прямой а1. Если бы прямая, а пересекала плоскость a, то точка пересечения принадлежала бы прямой а1. Но это невозможно, так как прямые, а и а1 параллельны. Итак, прямая, а не пересекает плоскость a, а значит, параллельна плоскости a. ЧТД.

Вывод формулы объема конуса: Конусом (а точнее круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга — основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, — вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания. Прямой конус — прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания.

Билет є4.

Параллельные плоскости: Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Теорема 16.4: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.