Экстремумы функций

Понятия максимум (max f (x)) и минимум (min f (x)) являются локальными свойствами функции и имеют место в определенной точке х0. Понятия наибольшего (sup f (x)) и наименьшего (inf f (x)) значений относятся к конечному отрезку [a, b] и являются глобальными свойствами функции на отрезке.

Из рисунка 1 видно, что в точках х1 и х3 локальные максимумы, а в точках х2 и х4 — локальные минимумы. Однако, наименьшего значения функция достигает в точке х=а, а наибольшего — в точке х=b.

Поставим задачу о разыскании всех значений аргумента, доставляющих функции экстремум. При решении ее основную роль будет играть производная.

Предположим сначала, что для фунции f (x) в промежутке (a, b) существует конечная производная. Если в точке х0 функция имеет экстремум, то, применяя к промежутку (х0—  , х0+), о которой была речь выше, теорему Ферма, заключаем, что f(x)=0 этом состоит необходимое условие экстремума. Экстремум следует искать только в тех точках, где производная равна нулю.

Не следует, думать, однако, что каждая точка, в которой производная равна нулю, доставляет функции экстремум: указанное только что необходимое условие неявляется достаточным.

3.2.1.Достаточное услоие. Первый признак.

Дополним, что точки, где производная равна нулю, называются стационарными; а точки, где производная не существует называются критическими.

Итак, если точка х0 есть стационарная точка для функции f (x) или если в этой точке не существует для неё двусторонней конечной производной, то точка х0 представляется, так сказать лишь «подозрительной» по экстремуму и подлежит дальнейшему испытанию.

Это испытание состоит, а проверке достаточных условий для существования экстремума, которые мы сейчас утановим.

Предположим, что в некоторой окрестности (х- , х+) точки х0 (по крайней мере, для х=х0) существует конечная производная и как слева от х0, так и справа от х0 (в отдельности) сохраняет определенный знак. Тогда возможны следующие три случая:

I f'(x)>0 при х<х0 и f'(x)<0 при х>х0, т. е. производная f'(x) при переходе через точку х0 меняет знак плюс на минус. В этом случае, в промежутке [х0—, х0] функция f (x) возрастает, a в промежутке [х0, х0+ ] убывает, так что значение f (x) будет наибольшим в промежутке [х0—, х0+ ], т. е. в точке х0 функция имеет собственный максимум.

II f'(x)<0 при х<х0 и f'(x)>0 при х>х0, т. е. производная f'(x) при переходе через точку х0 меняет знак минус на плюс. В этом случае аналогично убеждаемся, что в точке х0 функция имеет собственный минимум.

III f'(x)>0 как при х<х0 так и при х>х0 либо же f'(x) и слева и справа от х0, т. е. при переходе через х0, не меняет знака. Тогда функция либо всё время возрастает, либо всё время убывает; в любой юлизости от х0 с одной стороны найдутся точки х, в которых f (x)<f (x0), а с другой — точки х, в которых f (x)>f (x0) так что в точке х0 никакого экстремума нет.

Итак, мы получаем правило для испытания «подозрительного» значения х0: подставляя в производную f'(x) сначала х<х0, а затем х>х0, устанавливаем знак производной вблизи от точки х0 слева и справа от неё; если при этом производная f'(x) меняет знак плюс на минус, то налицо максимум, если меняет знак с минуса на плюс, то — минимум; если же знака не меняет, то экстремума вовсе нет.

Это правило полностью решает вопрос в том случае, когда в промежутке (а, b), как это обычно бывает, всего лишь конечное число стационарных точек или точек, где отсутствует конечная производная:

a<х12<… <хkk+1<… <хn<b (3.1)

именно, тогда прежде всего, в любом промежутке (а, х1), (х1, х2), … ,(хk, хk+1), … ,(хn, b) существует конечная производная f'(x) и, кроме того, в каждом таком промежутке f'(x) сохраняет постоянный знак. Действинельно, если бы f'(x) меняла знак, например, в промежутке (хk, хk+1), то по теореме Дарбу, она обращалась бы в нуль в некоторой точке между хk и хk+1, что невозможно, поскольку все корни производной уже содержатся в ряду точек (3.1).

Последнее замечание бывает полезно в некоторах случаях на практике: знак производной f'(x) во всем промежутке (хk, хk+1) определяется, если вычислить значение (или даже только установить знак) её в одной какой-либо точке этого промежутка.

3.2.2.Достаточное условие. Второй признак.

Нередко более удобным на практике оказывается другой признак существования экстремума, основанный на выяснении знака второй производной в стационарной точке.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3.1:Если х0 есть стационарная точка функции f (x) и f''(x)<0, то в точке х0 функция иммет максимум, а если f''(x)>0, то функция имеет в точке х0 минимум.

Доказательство: По определению второй производной

(f'(x)-f'(x0)

f''(x0)=lim-------------

x-x0

По условию теоремы f'(x)=0. Поэтому

f'(x)

f''=lim----------

x-x0

Допустим, что f''(x)<0. Тогда по теореме о пределах функции найдётся такой интервал (x0-, x0+), в котором переменная величина f'(x)/(x-x0) сохраняет знак своего предела, т. е. выполняется неравенство

f'(x)

----------<0 (x0—  <x<x0+)

x-x0

Отсюда следует, что f'(x)>0, если х-х0<0, или х>х0, и f'(x)<0, если х-х0>0, или х>х0. На оснавании первого достаточного признака существования экстремума заключаем, что в точке х0 функция f (x) имеет максимум. Аналогично показывается, что условие f''(x)>0 обеспечивает минимум функции f (x).

ч.т.д.

Таким образом получаем правило нахождения экстремумов (для дважды дифференцируемых функций):

1.Вычисляем первую производную f'(x) и из уравнения f'(x)=0 находим стационарные точки функции f (x).

2.Вычсляем вторую производную, и каждую стационарную точку х0 подвергаем испытанию:

  • если f''(x)>0, то х0 — точка минимума функции;
  • если f''(x)<0, то х0 — точка максимума функции.

Замечание 1: если f''(x)=0, то это правило теряет силу и нужно воспользоваться первым признаком нахождения экстремумов. При этом экстремум может существовать, а может и не существовать.

Однако в случае своей применимости второй признак окаывается весьма удобным: вместо рассмотрения знака функции f'(x) в точках, отличных от предполагаемой точки экстремума, он позволяет дать ответ по знаку функции f''(x) в той же точке.

3.3.Использование высших производных.

В случае, когда f''(x)=0 (f'(x)=0) экстремум может быть, а может и не быть. Рассмотрим общий случай.

Теорема 3.2:Пусть функция f: U (x0) R, определенная в окрестности U (x0) точки х0, имеем в х0 производные до порядка n включительно (n>1).

Если f'(x0)=…=f (n-1)(x0)=0 и f(n)(x0)=0, то при n нечетном в х0 экстремума нет, а при n четном экстремум есть, причем это строгий локальный минимум, если f(n)(x0)>0, и строгий локальный максимум, если f (n)(x0).

Доказательство:Используя локальную фурмулу Тейлора

f (x)-f (x0)=f(n)(x0)(x-x0)n+ (x)(x-x0)n (3.2)

где (x) 0 при x x0, будем рассуждать так же, как при доказательстве леммы Ферма. Перепишем (2) в виде

f (x)-f (x0)=(f(n)(x0)+ (x))(x-x0)n (3.3)

Поскольку f(n)(x0)=0,а (x) 0 при x x0, сумма имеет знак fn(x0), когда х достаточно близок к х0. Если n нечетно, то при переходе через х0 скобка (х-х0)n меняет знак и тогда изменяется знак всей правой, а следовательно, и левой части равенства (3.3). Значит, при n=2k+1 экстремума нет.

Если n четно, то (x-x0)n>0 при x=x0 и, следовательно, а малой окрестности точки х0 знак разности f (x)-f (x0), как видно из равенства (3.3), совпадает со знаком f(n)(x0) :

  • пусть f(n)(x0), тогда в окрестности точки х0 f (x)>f (x0), т. е. в точке х0 — локальный минимум;
  • пусть f(n)(x0)>0,тогда f (x)>f (x0), т. е. в точке х0 локальный минимум. ч.т.д.

4.Экстремумы функций трех переменных.

4.1.Необходимые условия экстремума.

Пусть функция v=f (x, y, z) определена в области D и (x0, y0, z0) будет внутренней точкой этой области.

Говорят, что функция v=f (x, y, z) в точке (x0, y0, z0) имеет максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью

(x0—  , x0+, y0— , y0+ , z0— , z0+)

что бы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство

f (x, y, z)<f (x0, y0, z0)

(>)

Если эту окрестность взять настлько малой, что бы знак равенства был исключён, т. е. чтобы в каждой её точке, кроме самой точки (x0, y0, z0) выполнялось строгое неравенство

f (x, y, z)<f (x0, y0, z0)

(>)

то говорят, что в точке (x0, y0, z0) имеет место собственный максимум (минимум), в противном случае максимум (минимум) называют несобственным.

Для обозначения максимума и минимума (как и в случае одной переменной) употребляется общий термин — экстремум.