Численное решение модельного уравнения диссипации, конвекции и кинетики
Численное решение модельного уравнения диссипации, конвекции и кинетики
СОДЕРЖАНИЕ
- Общая постановка задачи
- Постановка тестовых задач
- Методика решения тестовых задач
- Результаты вычислений
Список литературы
Приложения
Приложение 1: Описание программы
Приложение 2: Текст программы
1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Перенос тепла (или вещества) теплопроводностью (для вещества соответственно диффузией) и конвекцией описывается дифференциальным уравнением параболического типа:
(1)
где температура (или концентрация). Пусть являются некоторыми константами и . Уравнение (1) при указанных выше предположениях называется модельным уравнением диссипации, конвекции и кинетики. Слагаемые правой части имеют следующий физический смысл:
— соответствует переносу тепла теплопроводностью (или вещества диффузией);
— соответствует конвективному переносу;-
— «кинетический член», соответствует источнику, пропорционально-
му температуре или концентрации;
— интенсивность внешних источников или стоков.
В дальнейшем будем рассматривать только тепловую интерпретацию уравнения (1).
Численное решение уравнения (1) будем искать в области :
(2)
при заданных начальных значениях температуры: (3)
и граничных условиях.
Граничные условия описывают режимы теплообмена с внешней средой:
при ;
при .
2. ПОСТАНОВКА ТЕСТОВЫХ ЗАДАЧ
В качестве тестовых задач для температуры мною были выбраны следующие пять функций:
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
Для функции (9) имеем:
Для функции (10):
Для функции (11):
Для функции (12):
Для функции (13):
Данные функции тестировались на отрезке по X: [0, 1], по времени: [0, 1], с количеством разбиений по этим отрезкам — 30.
3. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ТЕСТОВЫХ ЗАДАЧ
Данная задача решается с помощью двухслойной неявно конечно-разностной схемы.
Схема реализуется в три этапа.
1 этап: находятся предварительные значения с помощью 4-х точечной неявной схемы:
(5)
2 этап: используется за два шага. Сначала находятся на полученном слое () с шагом , а затем через . В этом случае используется 4-х точечная неявная разностная схема:
(6)
(7)
3 этап: окончательные значения находятся в виде линейной комбинации двух предварительных значений:
(8)
Для решения (1) воспользуемся формулами (5) — (8). Данные уравнения представляют трех диагональные матрицы, решаемые методом скалярной прогонки.
В начале нужно преобразовать (5) — (7) к виду:
(14)
Тогда (5) примет вид:
Т.е. ;
;
;
.
Формула (6) преобразуется в:
Т.е. ;
;
;
.
Формула (7) преобразуется в:
Т.е. ;
;
;
.
Далее решаем по формулам скалярной прогонки:
(15)
(16)
Для определения , и воспользуемся данными граничными условиями,
Приведём это выражение к виду: .
Т.е. теперь мы имеем и :
Далее найдем конечное :
(18)
Проведя аналогичные расчёты для заданных формулами (10) — (13), мы получим соответствующие , и . Далее мы можем решить системы методом прогонки и получить требуемый результат.
4. РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ
В результате проведённых испытаний программа показала свою высокую надёжность. Были получены следующие данные.
При расчёте с использованием функции и входных данных ; ; ; ; ; ; на отрезке по X и по времени [0,1] с шагом 0,033 был получен результат с ошибкой равной 0,0675.
Для функции при ; ; ; ; ; ; , на том же промежутке, ошибка составляет 0,055.
С функцией и ; ; ; ; ; ; ошибка примет значение 0,0435.
При и условиях ; ; ; ; ; ; в результате возникает ошибка равная 0,0055.
И, наконец, если выбрана функция и ; ; ; ; ; ; , то ошибка составит 0,255.
Т.е. можно сказать, что мы имеем результат с первым порядком точности. Столь малую точность можно объяснить тем, что производная, найденная при граничных условиях, так же имеет первый порядок точности.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- А. Епанешников, В. Епанешников Программирование в среде Turbo-Pascal 7.0. — М.: Диалог — Мифи, 1996. — 288 с.
- Петухова Т. П., Сибирцев В. В. Пакет прикладных программ для численного моделирования процессов тепло- и массопереноса. — Караганда: Изд-во КарГУ. 1993
- Фигурнов В. Э. IBM PC для пользователя. — М.: Инфра — М, 1995. — 432 с.
Приложение 1
ОПИСАНИЕ ПРОГРАММЫ
Поставленная задача была программно реализована на языке программирования Turbo-Pascal 7.0.
В состав программы входят следующие файлы:
basis.pas — PAS-файл основной части программы
(решение системы уравнений методом скалярной прогонки);
basis.v&v — EXE-файл основной части программы (вызывается из START. PAS);
fun.bmp — BMP-фаил с изображением функций;
inform.v&v — TXT-фаил с информацией о программе (вызывается из START. PAS);
music.v&v — музыкальный EXE-фаил (вызывается из START. PAS);
my_menu.pas — UNIT для создания меню;
sea.exe — программа для просмотра графических файлов;
start.pas — файл для запуска всей программы;
u — файл с результатами работы;
zastavka.v&v — EXE-фаил с заставкой к основной программе
(вызывается из START. PAS).
Файл START является, как бы оболочкой программы, из которой вызываются другие файлы. Сам процесс решения содержится в файле BASIS.
BASIS содержит следующие процедуры и функции:
Function Fun_U (Xm, t: real):real;
Вход: значение по X и значение по времени t, а также глобальная переменная выбранной