Теория случайных функций
Дано:
Восстанавливаемая, резервированная система (5,1) с КПУ, вероятность срабатывания КПУравна b.
Время невыхода из строя (т.е. безотказной работы) основного элемента распределено экспоненциально с параметром a.
Время восстановления вышедшего из строя элемента распределено экспоненциально с параметром m.
Тип резервироавния - ненагруженный.
Для описания состояния системы введем двумерный случайный поцесс n (t) = (x (t), d (t)) с координатами, описывающими:
— функционирование элементов
x (t) О {0, 1, 2} - число неисправных элементов;
— функционирование КПУ
d (t) О {0,1} - 1, если исправен, 0 — если нет.
Так как времена безотказной работы и восстановления имеют экспоненциальное распределение, то в силу свойств экспоненциального распределения, получим, что x (t) - однородный Марковский процесс.
Определим состояние отказа системы:
Система отказывает либо если переходит в состояние 2 процесса x (t) (т.е. отказ какого-либо элемента при количестве резервных элементов, равным нулю), либо если находится в состоянии 0 процесса d (t) (т.е. отказ какого-либо элемента и отказ КПУ).
Таким образом, можно построить граф состояний системы:
0 — состояние, при котором 0 неисправных элементов,
1 — состояние, при котором 1 неисправный элемент,
П - состояние, при котором либо 2 неисправных элемента, либо 1 неисправный элемент и неисправный КПУ,
Найдем интенсивности переходов.
Так как выход из строя каждого из элементов — события независимые, то получим:
вероятность выхода из строя элемента: 1-exp (-5ah) = 5ah + o (h)
вероятность восстановления элемента: 1-exp (-mh) = mh + o (h)
Ю
Пусть
Ю Получим систему дифференциальных уравнений Колмогорова:
Пусть ,
т.е. применим преобразование Лапласа к .
Т.к. , то, подставляя значения интенсивностей, получаем:
Ю
Ю
( — корни =0)
Представляя каждую из полученных функций в виде суммы двух правильных дробей, получаем:
Применяя обратное преобразование Лапласа, получаем выражения для функций :
Ю
Ю
Ю Искомая вероятность невыхода системы из строя за время t:
,
где
,
Итак,
, где
Определим теперь среднее время жизни такой системы,
Ю