Теоремы
Определение: Элемент наилучшего приближения — L — линейное многообразие, плотное в E. "e"xÎE $u: ║x-u║<e
Теорема: Для любого элемента нормированного пространства существует хотя бы один элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства.
Теорема: Для элемента из строго нормированного конечномерного пространства существует единственный элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства.
Теорема: Рисса о существовании почти ортогонального элемента. E-НП LÌE, "eÎ(0,1) $zeÎE\L ║ze║=1 r(ze, L)>1-e
Определение: Полное нормированное пространство- любая фундаментальная последовательность сходиться.
Теорема: О пополнении нормированного пространства. Любое нормированное пространство можно считать линейным многообразием, плотным в некотором полном нормированном пространстве.
Определение: Гильбертово пространство — нормированное пространство, полное в норме, порожденной скалярным произведением.
Теорема: Для любого элемента гильбертова пространства существует единственный элемент наилучшего приближения в конечномерном подпространстве гильбертова пространства.
Определение: L плотное в E, если "xÎE $uÎL: ║x-u║<e
Теорема: Чтобы L было плотно в H ó ортогональное дополнение к L состояло только из нулевого элемента.
Определение: Сепарабельное — нормированное пространство, содержащее некоторое счетное плотное в нем множество.
Определение: Ортогональное дополнение — множество элементов ортогональных к элементам данного пространства.
Определение: Линейный оператор — отображение, для которого A (ax+by)=aAx+bAy
Определение: Непрерывный оператор — AxàAx0 при xà x0
Определение:L(X, Y) — пространство линейных операторов
Теорема: Пусть X и Y — полные НП и A — непрерывен на некотором подпространстве пространства X, тогда он непрерывен на всем X.
Определение: Ограниченный оператор — "¦x║≤1 $с: ║Ax║≤c
Теорема: A — ограниченный ó"xÎX ║Ax║≤c║x║
Теорема: Для того чтобы, А был непрерывен ó чтобы он была ограничен
Теорема: {An} равномерно ограничена è {An}- ограничена.
Теорема: {Anx} - ограниченно ó {║An║}- ограничена.
Определение: Сильная (равномерная) сходимость ║An-A║à0, nà¥, обозначают AnàA
Определение: Слабая сходимость — "xÎX ║(An-A)x║Yà0, nà¥
Теорема: Для того, чтобы имела место сильная сходимость ó {An} сходилась равномерно на замкнутом шаре радиуса 1
Теорема: Банаха-Штенгауза AnàA nॠслабо è 1) {║An║}- ограничена 2) AnàA, x'ÌX, x'=x
Теорема: Хана Банаха. A: D (A)àY, D (A)ÌX è$ A':XàY 1) A’x=Ax, xÎD (A) 2) ║A'║=║A║
Определение: Равномерная ограниченность — $a "x: ║x (t)║≤a
Определение: Равностепенная непрерывность "t1, t2$d: ║x (t1)-x (t2)║<e
Теорема:L(X, Y) полное, если Y — полное.
Определение: Ядро — {xÎX | Ax=0}
Определение: Сопряженное пространство — пространство функционалов X*:=L(X, E)
Определение: Сопряженный оператор A*: Y*àX*
Теорема: Банаха A: XàY и X, Y- полные нормированные пространства. Тогда $ A-1 и ограничен.
Определение: Оператор, А — обратимый
Определение: Оператор А- непрерывнообратимый если 1) A- обратим, 2) R (A)=Y, 3) A-1-ограничен.
Теорема: A-1$ и ограничен ó$m>0 "xÎX ║Ax║≥m║x║
Теорема: Рисса о представлении линейного функционала в гильбертовом пространстве. Пусть f: XàY — линейный ограниченный функционал è$! yÎH "xÎH f (x)=(x, y)
Определение: MÌX называется бикомпактным, если из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся к элементам этого же множества последовательность.
Определение: Множество называется компактным, если любая ограниченная последовательность элементов содержит фундаментальную подпоследовательность.
Теорема: Хаусдорфа. MÌX компактно ó"e>0 $ конечная e-сеть
Теорема: Арцела. MÌC[a, b] компактно ó все элементы множества равномерно ограничены и равностепенно непрерывны.
Определение: Компактный (вполне непрерывный) оператор — замкнутый шар пространства X переводит в замкнутый шар пространства Y.
Определение:s(X, Y) — подпространство компактных операторов
Теорема: Шаудера. AÎs(X, Y) ó A*Îs(X*, Y*)
Линейные нормированные пространства
- Пространства векторов
- Пространства последовательностей
- Пространства функций






или
пространство ограниченных последовательностей
пространство последовательностей, сходящихся к нулю
пространство сходящихся последовательностей
пространство непрерывных на
функций
пространство k раз непрерывно дифференцируемых на
функций
£p[a, b] пространство функций, интегрируемых в степени p (не Гильбертово)
— пополнение £p[a, b] (Гильбертово)
Неравенство Гёльдера p, q>0
Неравенство Минковского