Построение математических моделей при решении задач оптимизации
Решение.
Окно будет обладать наибольшей пропускной способностью, если при заданном периметре будет иметь максимальную площадь.
Пусть AB=x, AD=y, тогда
P=AB+BC+AD+ DMC
P=x+2y+0,5 p x (1)
S=AB*BC+p x /8
S=xy+ x p/8 (2)
Из (1),(2) следует, что
S (x)=-(p/8 +½)x +3x
Известно, что квадратный трехчлен принимает наибольшее значение при
x =-b/2a,
Ответ.Размеры окна 6/(p +4), 12/(p +4).
Задача 6.
На учебном полигоне произведен выстрел из зенитного орудия в вертикальном направлении не разрывающимся снарядом. Требуется определить наибольшую высоту подъема снаряда, если начальная скорость снаряда ν0 = 300 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение.
Из курса физики известно, что путь s, пройденный телом при равноускоренном движении, изменяется в зависимости от времени по закону s = s0 + ν0 t + at2/ 2, где s0 — начальный путь, ν0 — начальная скорость, a — ускорение, t — время.
В рассматриваемом случае s =0,v =300 м/с, а=-5 м/с , значит, S (t) = 300t — 5t2 .
Функция S (t) принимает наибольшее значение при
S (30)= 300*30−5*302 =4500(м)
Наибольшая высота подъема снаряда равна 4500 м.
Как видно из примеров, решение экстремальных задач дает возможность установить более тесную межпредметную связь алгебры, геометрии и физики. При их решении можно приобрести не только математическую информацию, но и знания из курса физики.
Решение физических задач поучительно с точки зрения математики, так как можно показать тонкости тех или иных математических приемов в действии, в их практическом приложении.
В частности, эти задачи помогают осознать, что функция, заданная аналитической формулой, может выражать зависимости между реальными величинами в самых различных явлениях и процессах
Задача 7.
Арка моста имеет форму параболы (высота 4 м, наибольшая ширина 20 м).
Составьте уравнение этой параболы.
Решение.
Уравнение параболы в данном случае имеет вид y = ax2 + c. Для определения a и c подставим в этом уравнение координаты точек B и C (рис. 1),
4 = c c = 4 c = 4,
ÞÞ
0 = 100a + c 100a = -4 a = - 0,04
Парабола имеет вид: y = - 0,04x2 + 4.
4.Применение методов дифференциального исчисления при решении прикладных задач.
Задача 8.
Проектируется канал оросительной системы с прямоугольным сечением в 4,5 м2. Каковы должны быть размеры сечения, чтобы для облицовки стенок и дна пошло наименьшее количество материала?
Решение.
Пусть стенки канала имеют длину x м., а дно канала — y м.
Тогда:
x*y=4,5 y=4,5/x
S= L*(2x+y) S=L*(2x+4,5/x)
Найдем производную.
Так как S'=0, и L (длина канала)-положительное число, то
x=1,5 Легко убедиться, что при данном x значение S минимально
Ответ: x=1,5 м. y=3 м.
Задача 9.
Какова должна быть скорость парохода, чтобы общая сумма расходов на один км. пути была наименьшей, если расходы на топливо за один час пропорциональна квадрату скорости.
Решение.
Расходы на 1 км пути на эксплуатацию парохода состоят из расходов на топливо и других расходов (содержание команды, амортизация). Ясно, что чем быстрее движется пароход, тем больше расход топлива. Остальные расходы от скорости движения не зависят.
Обозначим через S-сумму расходов в час, V- скорость судна
Расходы на 1 км выразится формулой S/V
По условию имеем S=KV2+b, где K- коэффициент пропорциональности, b- расходы, кроме расходов на топливо.
Y=S/V Y=(KV2+b)/V=KV+b/V
Надо найти значение V, при котором функция Y=KV+b/V имеет наименьшее значение.