Оценивание параметров

и проверка гипотез

о нормальном распределении

Исходные данные задачи *

Построение интервального вариационного ряда распределения *

Графическое изображение вариационных рядов *

Анализ графиков и выводы *

Расчет теоретической нормальной кривой распределения *

Проверка гипотез о нормальном законе распределения *

Продолжительность горения электролампочек (ч) следующая:

Необходимо построить интервальный вариационный ряд распределения.

Max: 769

Min: 733

R=769−733=36

H= R / 1+3,32 lg n=36/(1+3,32lg100)=4,712

A1= x min — h/2=730,644

B1=A1+h; B2=A2+h

Необходимо определить выборочные характеристики по вариационному ряду, а именно среднюю арифметическую (x ср.), центральные моменты (мю к, к=1,4), дисперсию (S²), среднее квадратическое отклонение (S), коэффициенты асимметрии (Ас) и эксцесса (Ек), медиану (Ме), моду (Мо), коэффициент вариации (Vs).

D i=(x_i— x_ср)

x_ср =е xi mi/е mi

x_ср = 751,7539

Выборочный центральный момент К-го порядка равен M k = (xi — x)^k mi/ mi

В данном примере:

Выборочная дисперсия S² равна центральному моменту второго порядка:

В данном примере:

S²=63,94

Выборочное средне квадратическое отклонение:

В данном примере:

S= 7,996

Выборочные коэффициенты асимметрии Ас и эксцесса Fk по формулам

Ac = m3/ S³;

В данном примере:

Ас =-0,557

Ek = m4/ S⁴ -3;

В данном примере:

Ek = -0,3 442

Медиана Ме — значение признака x (e), приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений (n = 2l -1). При четном числе наблюдений (n= 2l) медианой Ме является средняя арифметическая двух значений, расположенных в середине ранжированного ряда: Me=(x (e) + x (e+1) /2

Исходя из интервального ряда, медиана вычисляется по формуле:

где mе- означает номер медианного интервала, (mе -1) — интервала, предшествующего медианному.

В данном примере:

Me=751,646

Мода Мо соответствует значению признака с большей частотой.

Для одно-модального интервального ряда вычисление моды можно производить по формуле

где мо означает номер модального интервала (интервала с наибольшей частотой), мо-1, мо+1- номера предшествующего модальному и следующего за ним интервалов.

В данном примере:

Mo = 751,49 476

Так как Х_ср, Mo Me почти не отличаются друг от друга, есть основания предполагать теоретическое распределение нормальным.

Коэффициент вариации Vs = S/ x * 100%= 3.06%

В нашем примере:

Vs= 1,06%

Необходимо построить гистограмму, полигон и кумуляту.

Полигон и кумулята используются как для изображения дискретных, так и интервальных рядов, гистограмма — для изображения только интервальных рядов. Чтобы построить графики необходимо записать вариационные ряды распределения (интервальный и дискретный) относительных частот. Wi=mi/n, накопленных относительных частот Whi и найдем отношение Wi/h

Вариационные ряды изображают графически, для визуального подбора теоретического распределения, а также выявления положения среднего значения (x ср.) и характера рассеивания (S² и S).

Ai-bi

1 2 3 4 5

4,97−5,08 5,03 0,02 0.02 0,18

5,08−5,19 5,14 0,03 0,05 0,27

5,19−5,30 5,25 0.12 0,17 1,09

5,30−5,41 5,36 0,19 0,36 1,73

5,41−5,52 5,47 0,29 0,65 2,64

5,52−5,63 5,58 0,18 0,83 1,64

5,63−5,74 5,69 0,13 0,96 1,18

5,74−5,85 5,80 0,04 1,00 0,36

Чтобы создать гистограмму относительных частот (частостей) на оси абсцисс необходимо отложить частичные интервалы, на каждом из которых строим прямоугольник, площадь которого равна относительной частоте Wi данного i-го интервала. Тогда высота элементарного прямоугольника должна быть равна Wi/h,. Следовательно, позади под гистограммой равна сумме всех относительных частот, т. е. единице.

Из гистограммы можно получить полигон того же распределения. Если середины верхних оснований прямоугольников соединить отрезками прямой.

Необходимо проанализировать форму ряда распределения по виду гистограммы и полигона, а также по значениям коэффициентов Ас и Ек.

По виду гистограммы и полигона можно судить о гипотическом законе распределения. Полигон гистограмма также характеризуются как аппроксимация кривой плотности

Для интервального ряда по оси абсцисс откладывают интервалы .

Чтобы построить кумуляту дискретного ряда по оси абсцисс откладывают значения признака xi, а по оси ординат — накопленные относительные частоты Whi. С кумулятой сравнивается график интегральной функции распределения F (x).

Коэффициенты асимметрии и эксцесса не сильно отличаются от нуля. Коэффициент асимметрии отрицателен (Ас=-0,005) это говорит о небольшой левосторонней асимметрии данного распределения. Эксцесс также отрицательный (Ек= -0,034). Так как кривая, изображающая ряд распределения, по сравнению с нормальной, имеет несколько более плоскую вершину. Вид гистограмма и полигон напоминают кривую нормального распределения (рис. 1.1 и 1.2.). В следствии всего выше сказанного можно выдвинуть гипотезу о том, что распределение продолжительности горения электролампочек является нормальным.

Покажем один из способов расчета теоретического нормального распределения по двум найденным выборочным характеристикам x и S эмпирического ряда.

При нахождении теоретических частот m^тi за оценку математического ожидания (мю) и среднего квадратического отклонения G нормального закона распределения принимают значения соответствующих выборочных характеристик x ср. и S, т. е. (мю)=Xср.= 751,7539; G=S=7,99.

Теоретические частоты находят по формуле: M^i=npi, где n — объем; Pi — величина попадания значения нормально распределенной случайной величины в i-й интервал.