Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Пусть, например, рассматривается дуга α, заключенная в интервале (-π/2; π/2).

Данная дуга может быть представлена как в виде арксинуса, так и в виде арктангенса. В самом деле, дуга имеет синус, равный sinα θ заключена, так же как и α, в интервале (-π/2; π/2), ρледовательно

Аналогично можно дугу α представить в виде арктангенса:

А если бы дуга α была заключена в интервале (0; π), то она могла бы быть представлена как в виде арккосинуса, так и в виде арккотангенса:

Так, например:

Аналогично:

Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых содержаться в одной и той же полуокружности (правой или верхней).

  1. Выражение через арктангенс.
  2. Пусть , тогда

    Дуга , по определению арктангенса, имеет тангенс, равный и расположена в интервале (-π/2; π/2).

    Дуга имеет тот же тангенс и расположена в том же интервале (-π/2; π/2).

    Следовательно,

    (1)

    (в интервале (-1: 1)

  3. Выражение через арксинус.
  4. Т.к. , то (2)

    в интервале

  5. Выражение арккосинуса через арккотангенс. Из равенства следует тождество
  6. (3)

    Случай № 2. Рассмотрим две аркфункции, значения которых выбираются в различных промежутках (например, арксинус и арккосинус; арккосинус и арктангенс и т. п.). Если аргумент какой-либо аркфункции (т.е. значение тригонометрической функции) положителен, то соответственно аркфункция (дуга), заключенная в первой четверти, может быть представлена при помощи любой аркфункции; так, например,

    Поэтому каждая из аркфункций от положительного аргумента может быть выражена посредством любой другой аркфункции.

    Значение какой-либо аркфункции от отрицательного аргумента принадлежит либо промежутку от -π/2 до 0, либо промежутку от π/2 до π и не может быть представлено в виде аркфункции, значение которой принадлежит другому (из этих двух) промежутку.

    Так, например, дуга не может быть значением арксинуса. В этом случае

    Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых выбираются в различных полуокружностях.

  7. Выражение арксинуса через арккосинус.
  8. Пусть , если , то . Дуга имеет косинус, равный , а поэтому

    При это равенство выполняться не может. В самом деле, в этом случае

    , а для функции имеем:

    так как аргумент арккосинуса есть арифметический корень , т. е. число неотрицательное.

    Расположение рассматриваемых дуг пояснено на рисунке:

    Х>0 X<0

    При отрицательных значениях Х имеем Х<0, а при положительных X>0, и

    Таким образом, имеем окончательно:

    если , (4)

    , если

    График функции

    Область определения есть сегмент [-1;1]; согласно равенству (4), закон соответствия можно выразить следующим образом:

    , если

    , если

  9. Аналогично установим, что при имеем:
  10. , если же , то

    Таким образом:

    , если (5)

    , если

  11. Выражение арктангенса через арккосинус. Из соотношения
  12. при имеем:

    Если же х<0, то

    Итак,

    , если (6)

    , если

  13. Выражение арккосинуса через арктангенс. Если , то
  14. При имеем:

    Итак,

    , если (7)

    , если

  15. Выражение арктангенса через арккотангенс.
  16. , если х>0 (8)

    , если x<0

    При x>0 равенство (8) легко установить; если же x<0, то

    .

  17. Выражение арксинуса через арккотангенс.
  18. , если (9)

    , если

  19. Выражение арккотангенса через арксинус.
  20. , если 0<x (10)

    , если х<0

  21. Выражение арккотангенса через арктангенс.

, если x>0 (11)

, если x<0

Примеры:

Пример № 1. Исследовать функцию

Решение. Эта функция определена для всех значений х, за исключением значения х=0 (при х=0) второе слагаемое теряет смысл). Воспользовавшись формулой (8) получим:

y= 0, если x>0

-π, если x<0

На чертеже изображен график

данной функции

Пример № 2. Исследовать функцию

Решение: Первое слагаемое определено для значений , второе — для тех же значений аргумента. Преобразим первое слагаемое по формуле (4).

Т.к. , то получаем

,

откуда:

на сегменте [0;1]

Пример № 3. Исследовать функцию

Решение: Выражения, стоящие под знаками аркфункций не превосходят по абсолютной величине единицы, поэтому данная функция определена для всех значений х. Преобразуем первое слагаемое по формуле (4).

Приняв во внимание равенство

, если

, если

получим:

y = 0 , если

, если

Выполнение обратных тригонометрических операций над тригонометрическими функциями.

При преобразовании выражений вида

следует принимать во внимание в какой четверти находится аргумент х и в каком промежутке находится значение данной аркфункции. Рассмотрим, например, первое из данных выражений:

Согласно определению арксинуса, y — есть дуга правой полуокружности (замкнутая), синус которой равен sin x;

и

Областью определения функции служит интервал , так как при всех действительных значениях х значение промежуточного аргумента содержится на сегменте . При произвольном действительном х значение y (в общем случае) отлично от значения х.

Так, например, при х=π/6 имеем:

но при х=5π/6

В силу периодичности синуса функция arcsin x также является периодической с периодом 2π, поэтому достаточно исследовать ее на сегменте [-π/2; 3π/2] величиной 2π.

Если значение х принадлежит сегменту [-π/2; π/2] то y=x, на этом сегменте график функции совпадает с биссектрисой координатного угла.

Если значение х принадлежит сегменту [π/2; 3π/2], то в этом случае дуга π-х принадлежит сегменту [-π/2; π/2]; и, так как

, то имеем y=π-υ;

в этом промежутке график функции совпадает с прямой линией y=π-υ. Если значение х принадлежит сегменту [3π/2; 5π/2], то, пользуясь периодичностью или путем непосредственной проверки, получим:

y=х-2π

Если значение х принадлежит сегменту [-3π/2; -π/2], то