Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции
Пусть, например, рассматривается дуга α, заключенная в интервале (-π/2; π/2).
Данная дуга может быть представлена как в виде арксинуса, так и в виде арктангенса. В самом деле, дуга имеет синус, равный sinα θ заключена, так же как и α, в интервале (-π/2; π/2), ρледовательно
Аналогично можно дугу α представить в виде арктангенса:
А если бы дуга α была заключена в интервале (0; π), то она могла бы быть представлена как в виде арккосинуса, так и в виде арккотангенса:
Так, например:
Аналогично:
Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых содержаться в одной и той же полуокружности (правой или верхней).
- Выражение через арктангенс.
- Выражение через арксинус.
- Выражение арккосинуса через арккотангенс. Из равенства следует тождество
- Выражение арксинуса через арккосинус.
- Аналогично установим, что при имеем:
- Выражение арктангенса через арккосинус. Из соотношения
- Выражение арккосинуса через арктангенс. Если , то
- Выражение арктангенса через арккотангенс.
- Выражение арксинуса через арккотангенс.
- Выражение арккотангенса через арксинус.
- Выражение арккотангенса через арктангенс.
Пусть , тогда
Дуга , по определению арктангенса, имеет тангенс, равный и расположена в интервале (-π/2; π/2).
Дуга имеет тот же тангенс и расположена в том же интервале (-π/2; π/2).
Следовательно,
(1)
(в интервале (-1: 1)
Т.к. , то (2)
в интервале
(3)
Случай № 2. Рассмотрим две аркфункции, значения которых выбираются в различных промежутках (например, арксинус и арккосинус; арккосинус и арктангенс
Поэтому каждая из аркфункций от положительного аргумента может быть выражена посредством любой другой аркфункции.
Значение какой-либо аркфункции от отрицательного аргумента принадлежит либо промежутку от -π/2 до 0, либо промежутку от π/2 до π и не может быть представлено в виде аркфункции, значение которой принадлежит другому (из этих двух) промежутку.
Так, например, дуга не может быть значением арксинуса. В этом случае
Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых выбираются в различных полуокружностях.
Пусть , если , то . Дуга имеет косинус, равный , а поэтому
При это равенство выполняться не может. В самом деле, в этом случае
, а для функции имеем:
так как аргумент арккосинуса есть арифметический корень ,
Расположение рассматриваемых дуг пояснено на рисунке:
Х>0 X<0
При отрицательных значениях Х имеем Х<0, а при положительных X>0, и
Таким образом, имеем окончательно:
если , (4)
, если
График функции
Область определения есть сегмент [-1;1]; согласно равенству (4), закон соответствия можно выразить следующим образом:
, если
, если
, если же , то
Таким образом:
, если (5)
, если
при имеем:
Если же х<0, то
Итак,
, если (6)
, если
При имеем:
Итак,
, если (7)
, если
, если х>0 (8)
, если x<0
При x>0 равенство (8) легко установить; если же x<0, то
.
, если (9)
, если
, если 0<x (10)
, если х<0
, если x>0 (11)
, если x<0
Примеры:
Пример № 1. Исследовать функцию
Решение. Эта функция определена для всех значений х, за исключением значения х=0 (при х=0) второе слагаемое теряет смысл). Воспользовавшись формулой (8) получим:
y= 0, если x>0
-π, если x<0
На чертеже изображен график
данной функции
Пример № 2. Исследовать функцию
Решение: Первое слагаемое определено для значений , второе — для тех же значений аргумента. Преобразим первое слагаемое по формуле (4).
Т.к. , то получаем
,
откуда:
на сегменте [0;1]
Пример № 3. Исследовать функцию
Решение: Выражения, стоящие под знаками аркфункций не превосходят по абсолютной величине единицы, поэтому данная функция определена для всех значений х. Преобразуем первое слагаемое по формуле (4).
Приняв во внимание равенство
, если
, если
получим:
y = 0 , если
, если
Выполнение обратных тригонометрических операций над тригонометрическими функциями.
При преобразовании выражений вида
следует принимать во внимание в какой четверти находится аргумент х и в каком промежутке находится значение данной аркфункции. Рассмотрим, например, первое из данных выражений:
Согласно определению арксинуса, y — есть дуга правой полуокружности (замкнутая), синус которой равен sin x;
и
Областью определения функции служит интервал , так как при всех действительных значениях х значение промежуточного аргумента содержится на сегменте . При произвольном действительном х значение y (в общем случае) отлично от значения х.
Так, например, при х=π/6 имеем:
но при х=5π/6
В силу периодичности синуса функция arcsin x также является периодической с периодом 2π, поэтому достаточно исследовать ее на сегменте [-π/2; 3π/2] величиной 2π.
Если значение х принадлежит сегменту [-π/2; π/2] то y=x, на этом сегменте график функции совпадает с биссектрисой координатного угла.
Если значение х принадлежит сегменту [π/2; 3π/2], то в этом случае дуга π-х принадлежит сегменту [-π/2; π/2]; и, так как
, то имеем y=π-υ;
в этом промежутке график функции совпадает с прямой линией y=π-υ. Если значение х принадлежит сегменту [3π/2; 5π/2], то, пользуясь периодичностью или путем непосредственной проверки, получим:
y=х-2π
Если значение х принадлежит сегменту [-3π/2; -π/2], то