Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции
Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции
Примеры
Примеры: в нижеследующих примерах приведены образцы исследования элементарных функций, заданных формулами, содержащими обратные тригонометрические функции.
Пример № 1. Исследовать функции arcsin (1/x) и arccos (1/y) и построить их графики.
Решение: Рассмотрим 1-ю функцию
y = arcsin (1/x)
Д (f): | 1/x | ≤ 1 ,
| x | ≥ 1 ,
(- ∞; -1 ] U [ 1; + ∞)
Функция нечетная
(f (x) убывает на пр. [0;1], f (y) убывает на пр. [0;π/2])
Заметим, что функция y=arccosec (x) определяется из условий cosec (y)=x и y є [-π/2; π/2], но из условия cosec (y)=x следует sin (y)=1/x, откуда
y=arcsin (1/x). Итак, arccos (1/x)=arcsec (x)
Д (f): (- ∞; -1 ] U [ 1; + ∞)
Пример № 2. Исследовать функцию y=arccos (x2).
Решение:
Д (f): [-1;1]
Четная
f (x) убывает на пр. [0;1]
f (x) возрастает на пр. [-1;0]
Пример № 3. Исследовать функцию y=arccos2(x).
Решение: Пусть z = arccos (x), тогда y = z2
f (z) убывает на пр. [-1;1] от π до 0.
f (y) убывает на пр. [-1;1] от π2 до 0.
Пример № 4. Исследовать функцию y=arctg (1/(x2-1))
Решение:
Д (f): (- ∞; -1) U (-1; 1) U (1; +∞)
Т.к. функция четная, то достаточно исследовать функцию на двух промежутках:
[ 0; 1) и (1; +∞)
X | 0 | < x < | 1 | < x < | +∞ |
u=1/(x2-1) | -1 | ↘ | + ∞ — ∞ | ↘ | 0 |
y=arctg (u) | — π/4 | ↘ | π/2 — π/2 | ↘ | 0 |
Тригонометрические операции над аркфункциями
Тригонометрические функции от одного и того же аргумента выражаются алгебраически одна через другую, поэтому в результате выполнения какой-либо тригонометрической операции над любой из аркфункций получается алгебраическое выражение.
В силу определения аркфункций:
sin (arcsin (x)) = x, cos (arccos (x)) = x
(справедливо только для x є [-1;1])
tg (arctg (x)) = x , ctg (arcctg (x)) = x
(справедливо при любых x)
Графическое различие между функциями, заданными формулами:
y=x и y=sin (arcsin (x))
Сводка формул, получающихся в результате выполнения простейших тригонометрических операций над аркфункциями.
Аргумент функция | arcsin (x) | arccos (x) | arctg (x) | arcctg (x) |
sin | sin (arcsin (x))=x | |||
cos | x | |||
tg | x | 1 / x | ||
ctg | 1 / x | x |
Справедливость всех этих формул может быть установлена при помощи рассуждений, приведенных ниже:
- Т.к. cos2x + sin2x = 1 и φ = arcsin (x)
- Из тождества следует:
- Имеем
Перед радикалом следует взять знак «+», т.к. дуга принадлежит правой полуокружности (замкнутой) , на которой косинус неотрицательный.
Значит, имеем
Ниже приведены образцы выполнения различных преобразований посредством выведения формул.
Пример № 1. Преобразовать выражение
Решение: Применяем формулу , имеем:
Пример № 2. Подобным же образом устанавливается справедливость тождеств:
Пример № 3. Пользуясь
Пример № 4. Аналогично можно доказать следующие тождества:
Пример № 5. Положив в формулах
, и
, получим:
,
Пример № 6. Преобразуем
Положив в формуле ,
Получим:
Перед радикалами взят знак «+», т.к. дуга принадлежит I четверти, а потому левая часть неотрицательная.
Соотношения между аркфункциями
Соотношения первого рода — соотношения между аркфункциями, вытекающими из зависимости между тригонометрическими функциями дополнительных дуг.
Теорема. При всех допустимых х имеют место тождества:
Соотношения второго рода — соотношения между аркфункциями, вытекающие из соотношений между значениями тригонометрических функций от одного и того же аргумента. Посредством соотношений 2-го рода производятся преобразования одной аркфункции в другую (но от различных аргументов).
Случай № 1. Значения двух данных аркфункций заключены в одной и той же полуокружности.