Некоторые функции высшей математики
1. Áýòà-ôóíêöèè 6
Бэта — функции определяются интегралом Эйлера первого рода:
=
(1.1)
сходятся при .Полагая
=1 — t получим:
= -
=
т.e. аргумент и
входят в
симетрично. Принимая во внимание тождество
по формуле интегрирования почестям имеем
Откуда
=
(1.2)
7
При целом b = n последовательно применяя (1.2)
Получим
(1.3)
при целых = m,
= n, имеем
но B (1,1) = 1, следовательно:
Положим в (1.1) .Так как график функции
симметрична относительно прямой
, то
8
и в результате подстановки , получаем
полагая в (1.1) , откуда
, получим
(1.4)
разделяя интеграл на два в пределах от 0 до 1 и от 1 до и применение ко второму интегралу подстановки
, получим
=
2. Ãàììà-ôóíêöèÿ 9
Гамма функцию определяет интеграл Эйлера второго рода
G(a) = (2.1)
сходящийся при 0. Положим
=ty, t > 0, имеем
G(a) =
и после замены , через
и t через 1+t, получим
Умножая это равенство и интегрируя по t и пределах от 0 до, имеем:
или на основании (1.4) и после изменения в правой части порядка интегрирования, получаем:
10
откуда
(2.2)
заменяя в (2,1) , на
и интегрируем по частям
получаем рекурентною формулу
(2.3)
так как
но при целом имеем
(2.4)
то есть при целых значениях аргумента гамма-функция превращается в факториал. Порядок которого на единицу меньше взятого значения аргумента. При n=1 в (2.4) имеем
3. Производная гамма функции 11
Интеграл
сходится при каждом , поскольку
, и интеграл
при
сходится.
В области , где
— произвольное положительное число, этот интеграл сходится равномерно, так как
и можна применить признак Веерштраса. Сходящимся при всех значениях
является и весь интеграл
так как и второе слогаемое правой части является интегралом, заведомо сходящимся при любом
.Легко видеть что интеграл сходится по
в любой области
где
произвольно. Действительно для всех указаных значений
и для всех
, и так как
сходится, то выполнены условия признака Веерштрасса. Таким образом, в области
интеграл
cходится равномерно.
Отсюда вытекает непрерывность гамма функции при.Докажем дифференцируемость этой функции при
.Заметим что функция
непрерывна при
и
, и покажем, что интеграл :
12
сходится равномерно на каждом сегменте ,
. Выберем число
так, чтобы
; тогда
при
.Поэтому существует число
такое, что
и
на
.Но тогда на
справедливо неравенство
и так как интеграл сходится, то интеграл
сходится равномерно относительно
на
. Аналогично для
существует такое число
, что для всех
выполняется неравенство
. При таких
и всех
получим
, откуда в силу признака сравнения следует, что интеграл
сходится равномерно относительно
на
. Наконец, интеграл
в котором подынтегральная функция непрерывна в области
, очевидно, сходится равномерно относительно
на
. Таким образом, на
интеграл
13
сходится равномерно, а, следовательно, гаммма функция бесконечно дифференцируема при любом и справедливо равенство
.
Относительно интеграла можна повторить теже рассуждения и заключить, что
По индукции доказывается, что Г-функция бесконечно дифференцируема прии для ее я
-ой производной справедливо равенство
Изучим теперь поведение — функции и построим єскиз ее графика .
Из выражения для второй производной -функции видно, что
для всех
. Следовательно,
возрастает. Поскольку
, то по теореме Роля на сегменте [1,2]производная
при
и
при
,
и монотонно возрастает на
. Далее, поскольку
, то
при
. При
из формулы
следует, что
при
.
14
Равенство , справедливое при
, можно использовать при распространении
— функции на отрицательное значение
.
Положим для, что
. Правая часть этого равенства определена для
из (-1,0). Получаем, что так продолженная функция
принимает на (-1,0) отрицательные значения и при
, а также при
функция
.
Определив таким образом на
, мы можем по той же формуле продолжить ее на интервал (-2,-1). На этом интервале продолжением
окажется функция, принимающая положительные значения и такая, что
при
и
. Продолжая этот процесс, определим функцию
, имеющею разрывы в целочисленных точках
(см. рис.1)
Отметим еще раз, что интеграл
определяет Г-функцию только при положительных значениях , продолжение на отрицательные значения
осуществлено нами формально с помощью формулы приведения
.
15
(рис.1)
4. Вычисление некоторых интегралов. 16
Формула Стирлинга
Применим гамма функцию к вычислению интеграла:
где m > -1,n > -1.Полагая, что , имеем
и на основании (2.2) имеем
(3.1)
В интеграле
Где k > -1,n > 0, достаточно положить
17
Интеграл
Где s > 0, разложить в ряд
=
где дзетта функция Римана
Рассмотрим неполные гамма функции (функции Прима)
связанные неравенством
Разлагая, в ряд имеем
18