Моделирование значений случайных векторов
Содержание
1. Аннотация
2. Введение
3. Необходимые сведения
4. Исходные данные и обозначения
5. Вывод неизвестных коэффициентов системы уравнений
6. Реализация программы в среде Matlab
7. Примеры работы программы
8. Заключение
9. Список литературы
1. Аннотация.
Решение многих прикладных задач требует моделирования случайных векторов.
В работе приводится метод моделирования случайных векторов с одинаковым для всех координат одномерным законом распределения, заданной матрицей ковариации и математическим ожиданием составляющих. Для решения этой задачи используется система алгебраических уравнений с неизвестными коэффициентами. По соответствующему алгоритму разработана программа имитации значений векторов по заданной ковариационной матрице и математическим ожиданиям составляющих с треугольной матрицей преобразования. Изучена возможность покоординатных преобразований. Проведена проверка датчика псевдослучайных чисел системы MATLAB.
2. Введение.
Решение многих прикладных задач, таких как проведение модельных (машинных) экспериментов с помощью математического моделирования требует моделирования случайных векторов.
Предполагая определенные свойства объекта исследования и характеристики измерительной аппаратуры, исследователь имитирует результаты измерений, обрабатывает их тем или иным способом и сравнивает результат с заложенными ранее характеристиками объекта. Особенно необходимы такие эксперименты при решении некорректных обратных задач. При этом необходимо моделировать не только закономерное влияние на результат измерения свойств объекта исследования и аппаратные искажения, но и случайные погрешности измерений,
Если отсчеты считать независимыми случайными величинами (их средние значения отражают какие-то закономерности, но к средним прибавлена случайная погрешность), то задача сводится к генерации значений независимых случайных величин (погрешностей) с нулевым средним и заданным законом распределения. В общем случае эту задачу легко решить с помощью генератора случайных чисел, равномерно распределенных в интервале (0,1), который встроен практически во все языки программирования высокого уровня.
Однако в реальных экспериментах, особенно если они выполняются быстро с помощью автоматизированных измерительных систем, погрешности измерения в различных экспериментальных точках могут быть коррелированны.
Ниже описывается метод моделирования случайных векторов с одинаковым для всех координат одномерным законом распределения, заданной матрицей ковариации и математическим ожиданием составляющих. Для решения этой задачи предлагается использовать систему алгебраических уравнений с неизвестными коэффициентами.
Алгоритм получения очередного случайного вектора заключается в следующем:
— по заданным ковариационным матрицам и математическим ожиданиям составляющих случайных векторов вычисляются значения неизвестных коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений;
— моделируется случайный вектор , координаты которого независимы и имеют заданное одномерное распределение;
— с помощью указанной системы алгебраических уравнений получается случайный вектор .
Доказано, что при выполнении условий реализуемости системы линейных алгебраических уравнений закон распределения координат совпадает с одномерным законом распределения координат , а значения коэффициентов ковариации любой пары равны соответствующим элементам заданной матрицы коэффициентов ковариации.
Моделирующая программа, использующая предложенный метод, определяет значения коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений и проверяет выполнение условий реализуемости этой системы. В случае невыполнения условий реализуемости программа указывает на необходимость корректировки задаваемой матрицы коэффициентов ковариации.
Если указанные условия реализуемости выполнены, то программа позволяет выбрать количество (объем выборки) и размерность моделируемых векторов.
По окончании моделирования программа проверяет соответствие параметров закона распределения координат исходным требованиям, а также находит оценки для полученных в результате моделирования коэффициентов ковариации координат.
Программа реализована в вычислительной среде MATLAB.
3. Необходимые сведения.
Ниже приводятся необходимые сведения и определения из линейной алгебры и теории вероятности.
Математическое ожидание случайной величины обладает следующими свойствами.
- Математическое ожидание постоянной равно этой постоянной,
т. е. - Постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания,
т. е. - Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий,
т. е. - Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий,
т. е.
, .
.
.
.
Можно доказать, что для случайных величин и для независимых случайных величин .
Дисперсия случайной величины обладает следующими свойствами.