Пензенский приборостроительный колледж

Метод касательных решения нелинейных уравнений

Выполнил: Ст-т 22п группы ЛЯПИН Р.Н.

Проверила: ______________

1. Тема: «Метод касательных решения нелинейных уравнений».
2. Изучить теоретический материал по заданной теме.
3. Составить блок схему алгоритма решения задачи .
4. Написать программу на языке Турбо-Паскаль для решения задачи в общем виде.
5. Выполнить программу с конкретными значениями исходных данных.
6. Определить корни уравнения х³ + 0,1 * х² + 0,4 * х — 1,2 = 0 аналитически и уточнить один из них с точностью до 0,1 методом касательных
7. Срок представления работы к защите: 10 мая 1999 г.
8. Исходные данные для исследования: научная и техническая литература.

Руководитель курсовой работы:Кривозубова С.А.

Задание принял к исполнению:Ляпин Р.Н.

Курсовая работа содержит: страниц, 1 график, 5 источников.

Перечень ключевых понятий: производная, метод касательных, программирование, нелинейное уравнение.

Объект исследования: Корни нелинейного уравнения.

Цель работы: Определение корней нелинейного уравнения.

Методы исследования: изучение работ отечественных и зарубежных авторов по данной теме.

Полученные результаты: изучен метод касательных решения нелинейных уравнений; рассмотрена возможность составления программы на языке программирования Турбо-Паскаль 7.0

Область применения: в работе инженера.

ВВЕДЕНИЕ… 5

1. Краткое описание сущности метода касательных

(метода секущих Ньютона)… 7

2. Решение нелинейного уравнения аналитически . 9

3. Блок схема программы … 11

4. Программа на языке PASCAL 7.0 … 12

5. Результаты выполнения программы … 13

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННИХ ИСТОЧНИКОВ … 14

Процедура подготовки и решения задачи на ЭВМ достаточно сложный и трудоемкий процесс, состоящий из следующих этапов:

1. Постановка задачи (задача, которую предстоит решать на ЭВМ, формулируется пользователем или получается им в виде задания).
2. Математическая формулировка задачи.
3. Разработка алгоритма решения задачи.
4. Написание программы на языке программирования.
5. Подготовка исходных данных .
6. Ввод программы и исходных данных в ЭВМ.
7. Отладка программы.
8. Тестирование программы.
9. Решение задачи на ЭВМ и обработка результатов.

В настоящей курсовой работе условие задачи дано в математической формулировке, поэтому необходимость в выполнении этапов 1 и 2 отпадает и сразу можно приступить к разработке алгоритма решения задачи на ЭВМ. Под алгоритмом понимается последовательность арифметических и логических действий над числовыми значениями переменных, приводящих к вычислению результата решения задачи при изменении исходных данных в достаточно широких пределах. Таким образом, при разработке алгоритма решения задачи математическая формулировка преобразуется в процедуру решения, представляющую собой последовательность арифметических действий и логических связей между ними. При этом алгоритм обладает следующими свойствами: детерминированностью, означающей, что применение алгоритма к одним и тем же исходным данным должно приводить к одному и том уже результату; массовость, позволяющей получать результат при различных исходных данных; результативностью, обеспечивающей получение результата через конечное число шагов.

Наиболее наглядным способом описания алгоритмов является описание его в виде схем. При этом алгоритм представляется последовательность блоков, выполняющих определенные функции, и связей между ними. Внутри блоков указывается информация, характеризующая выполняемые ими функции. Блоки схемы имеют сквозную нумерацию.

Конфигурация и размеры блоков, а также порядок построения схем определяются ГОСТ 19.002−80 и ГОСТ 19.003−80.

На этапе 4 составляется программа на языке Турбо-Паскаль. При описании программы необходимо использовать характерные приемы программирования и учитывать специфику языка. В качестве языка программирования выбран язык ПАСКАЛЬ ввиду его наглядности и облегченного понимания для начинающих программистов, а также возможности в дальнейшем использовать для решения более трудных задач.

Этапы алгоритмизации и программирования являются наиболее трудоемкими, поэтому им уделяется большое внимание.

В процессе выполнения курсовой работы студент готовит исходные данные, вводит программу и исходные данные. При работе ввод программы и исходных данных осуществляется с клавиатуры дисплея.

Отладка программы состоит в обнаружении и исправлении ошибок, допущенных на всех этапах подготовки задач к решению на ПЭВМ. Синтаксис ошибки обнаруживается компилятором, который выдает сообщение, указывающее место и тип ошибки. Обнаружение семантических ошибок осуществляется на этапе тестирования программы, в котором проверяется правильность выполнения программы на упрощенном варианте исходных данных или с помощью контрольных точек или в режиме пошагового исполнения.

Задание при обработке на ЭВМ проходит ряд шагов: компиляцию, редактирование (компоновку) и выполнение.

Обработка результатов решения задачи осуществляется с помощью ЭВМ. Выводимые результаты оформлены в виде, удобном для восприятия.

Пусть на отрезке [a; b] отделен корень с уравнения f (x) = 0 и f -функция непрерывна на отрезке [a; b], а на интервале ]a; b[ существуют отличные от нуля производные f ' и f «.

Так как f '(x) № 0, то запишем уравнение f (x) = 0 в виде :

x = x — (f (x) / f '(x)) (1)

Решая его методом итераций можем записать :

x_n+1 = x _n— (f (x _n) / f '(x _n)) (2)

Если на отрезке [a;b] f '(x) * f «(x) > 0, то нул — евое приближение выбираем x0=a. Рассмотрим геометрический смысл метода. Рассмотрим график функции y=f (x). Пусть для определенности f ‘(x) > 0 и f «(x) > 0 (рис. 1). Проведем касательную к графику функции в точке B (b, f (b)). Ее уравнение будет иметь вид :

y = f (b) + f '(b) * (x — b)

Полагая в уравнении y = 0 и учитывая что f '(x) № 0, решаем его относительно x. Получим :

x = b — (f (b) /f ‘(b))

Нашли абсциссу x₁ точки c₁ пересечения касательной с осью ox :

x₁ = b — (f (b) — f ' (b))

Проведем касательную к графику функции в точке b₁ (x₁; f (x₁)).Найдем абсциссу x₂ точки с₂ пересечения касательной с осью Ox:

x₂ = x₁ — (f (x₁) / (f '(x₁))

Вообще :

x_k+1 = x _k — (f (x _k) / f '(x _k)) (3)

Таким образом, формула (3) дает последовательные приближения (x_k) корня, получаемые из уравнения касательной, проведенной к графику функции в точке b _k (x _k; f (x _k0) метод уточнения корня c [a;b] уравнения f (x) = 0 с помощью формулы (3) называется методом касательной или методом Ньютона.

Геометрический смысл метода касательных состоит в замене дуги y = f (x) касательной, одной к одной из крайних точек. Начальное приближение x ₀ = a или x₀ = b брать таким, чтобы вся последовательность приближения х _k принадлежала интервалу ]a;b[. В случае существования производных f ', f «, сохраняющих свои знаки в интервале, за х₀ берется тот конец отрезка [a;b], для которого выполняется условие f '(х₀) * f (х₀) > 0. Для оценки приближения используется общая формула :

|c-x _k-1 | Ј | f (x _k+1)/m|, где m = _min f '(x) на отрезке [a;b] .

На практике проще пользоваться другим правилом:

Если на отрезке [a;b] выполняется условие 0 < m < | f (x)| и e — заданная точность решения, то неравенство | x _k+1-x _k| Ј e влечет выполнение неравенства |c-x _k-1| Ј e .

В этом случае процесс последовательного приближения продолжают до тех пор, пока не выполнится неравенство :

|c-x _k-1| Ј e .

Определим корни уравнения х³ + 0,1х² + 0,4х — 1,2 = 0 аналитически. Находим: f (x) = х³ + 0,1х² + 0,4х — 1,2

f ‘ (x) = 3х² + 0,1х + 0,4

f (-1) = -2,5 < 0 f (0) = -1,2 < 0 f (+1) = 0,3 > 0

Следовательно, уравнение имеет действительный корень, лежащий в промежутке [ 0; +1 ].

Приведем уравнение к виду x = j (x), так, чтобы | j ‘ (x) | <1 при 0 Ј x Ј +1.

Так как max | f '(x) | = f '(+1) = 3 + 0,1 + 0,4 = 3,5 то можно взять R = 2.

Тогда j (x) = x — (f (x) / R) = x — 0,5 х³ — 0,05 х² — 0,2 х + 0,6 = - 0,5 х³ — 0,05 х² + 0,8 х + 0,6.

Пусть х₀ = 0, тогда х _n+1 = j (х _n).

Вычисления расположим в таблице.

График функции y = х³ + 0,1х² + 0,4х — 1,2

program metod_kasatel;{Название программы}

uses Crt; {Модуль дисплейных функций}

var {Блок описаний переменных}

xn, xn1, a, b, c, mx, y0, x0 :real;

function f1(x1:Real): Real; {Основная функция}

f1 := x1*x1*x1*(-0.5)-0.05*x1*x1+0.8*x1+0.6;

end;

function f2(x4:Real): Real; {Производная от основной функции}

f2 := x4*x4*x4+0.5*x4*x4+0.1*x4*x4+0.4*x4−1.2;

end;

begin {Начало основного тела программы}

Clrscr; {Очистка экрана перед выполнением программы}

a:=0;b:=1;c:=0.1;

Writeln(' От A=', a,' до B=', b); {Вывод на экран}

Writeln(' Погрешность с=', c);

Readln; { Ожидание нажатия клавиши Enter}

xn:=b;