Матричный анализ

Лемма № 2. Если матрица неотрицательна и неприводима, то число является собственным значением матрицы А, кроме того каждый экстремальный вектор для, А положителен и является правым собственным вектором для А, отвечающим собственному значению r.

Основным результатом является теорема Фробениуса-Перона для непрерывных матриц.

Теорема Фробениуса-Перона. Если матрица неотрицательна и неприводима, то:

    1. А имеет положительное собственное значение, равное спектральному радиусу матрицы А;
    2. существует положительный правый собственный вектор, соответствующий собственному значению r.
    3. собственное значение имеет алгебраическую кратность равную 1.

Эта теорема была опубликована в 1912 году Фробениусом и явилась обобщением теоремы Перона, которая является следствием.

Теорме Перона (следствие). Положительная квадратная матрица, А имеет положительное и действительное собственное значение r, имеющее алгебраическую кратность 1 и превосходит модули всех других собственных значений матрицы А. Этому r соответствует положительный собственный вектор.

Используя теорему Фробениуса-Перона, можно найти максимальное действительное значение матрицы, не используя характеристического многочлена матрицы.