Матричный анализ

1. Определение функции.

Df. Пусть — функция скалярного аргумента. Требуется определить, что понимать под f (A), т. е. нужно распространить функцию f (x) на матричное значение аргумента.

Решение этой задачи известно, когда f (x) — многочлен: , тогда .

Определение f (A) в общем случае.

Пусть m (x) — минимальный многочлен, А и он имеет такое каноническое разложение , , — собственные значения А. Пусть многочлены g (x) и h (x) принимают одинаковые значения.

Пусть g (A)=h (A) (1), тогда многочлен d (x)=g (x)-h (x) — аннулирующий многочлен для А, так как d (A)=0, следовательно, d (x) делится на линейный многочлен, т. е. d (x)=m (x)*q (x) (2).

Тогда , т. е. (3), , , .

Условимся m чисел для f (x) таких называть значениями функции f (x) на спектре матрицы А, а множество этих значений будем обозначать .

Если множество f (Sp A) определено для f (x), то функция определена на спектре матрицы А.

Из (3) следует, что многочлены h (x) и g (x) имеют одинаковые значения на спектре матрицы А.

Наши рассуждения обратимы, т. е. из (3) Ю (3) Ю (1). Таким образом, если задана матрица А, то значение многочлена f (x) вполне определяется значениями этого многочлена на спектре матрицы А, т. е. все многочлены g_i(x), принимающие одинаковые значения на спектре матрицы имеют одинаковые матричные значения g_i(A). Потребуем, чтобы определение значения f (A) в общем случае подчинялось такому же принципу.

Значения функции f (x) на спектре матрицы, А должны полносильно определить f (A), т. е. функции, имеющие одни и те же значения на спектре должны иметь одно и то же матричное значение f (A). Очевидно, что для определения f (A) в общем случае, достаточно найти многочлен g (x), который бы принимал те же значения на спектре А, что и функция f (A)=g (A).

Df. Если f (x) определена на спектре матрицы А, то f (A)=g (A), где g (A) — многочлен, принимающий на спектре те же значения, что и f (A),

Df.Значением функции от матрицы А назовем значение многочлена от этой матрицы при .

Среди многочленов из С[x], принимающих одинаковые значения на спектре матрицы А, что и f (x), степени не выше (m-1), принимающий одинаковые значения на спектре А, что и f (x) — это остаток от деления любого многочлена g (x), имеющего те же значения на спектре матрицы А, что и f (x), на минимальный многочлен m (x)=g (x)=m (x)*g (x)+r (x).

Этот многочлен r (x) называют интерполяционным многочленом Лагранжа-Сильвестра для функции f (x) на спектре матрицы А.

Замечание. Если минимальный многочлен m (x) матрицы, А не имеет кратных корней, т. е. , то значение функции на спектре .

Пример:

Найти r (x) для произвольной f (x), если матрица

. Построим f (H₁). Найдем минимальный многочлен H₁ — последний инвариантный множитель [xE-H₁]:

, d_n-1=x²; d_n-1=1;

m_x=f_n(x)=d_n(x)/d_n-1(x)=x^nЮ0 — n -кратный корень m (x), т. е. n-кратные собственные значения H₁.

, r (0)=f (0), r'(0)=f'(0),…, r^(n-1)(0)=f^(n-1)(0) Ю.

2. Свойства функций от матриц.

Свойство № 1. Если матрица имеет собственные значения (среди них могут быть и кратные), а , то собственными значениями матрицы f (A) являются собственные значения многочлена f (x): .

Пусть характеристический многочлен матрицы, А имеет вид:

, , . Посчитаем . Перейдем от равенства к определителям:

Сделаем замену в равенстве:

(*)

Равенство (*) справедливо для любого множества f (x), поэтому заменим многочлен f (x) на , получим:

.

Слева мы получили характеристический многочлен для матрицы f (A), разложенный справа на линейные множители, откуда следует, что — собственные значения матрицы f (A).

Свойство № 2. Пусть матрица и — собственные значения матрицы А, f (x) — произвольная функция, определенная на спектре матрицы А, тогда собственные значения матрицы f (A) равны .

Т.к. функция f (x) определена на спектре матрицы А, то существует интерполяционный многочлен матрицы r (x) такой, что , а тогда f (A)=r (A), а у матрицы r (A) собственными значениями по свойству № 1 будут которым соответственно равны .

Свойство № 3. Если, А и В подобные матрицы, , т. е. , и f (x) — произвольная функция, определенная на спектре матрицы А, тогда

Т.к. А и В подобны, то их характеристические многочлены одинаковы Ю одинаковы и их собственные значения, поэтому значение f (x) на спектре матрицы, А совпадает со значение функции f (x) на спектре матрицы В, при чем существует интерполяционный многочлен r (x) такой, что f (A)=r (A), , Ю.

Свойство № 4. Если, А — блочно-диагональная матрица , то

Следствие: Если , то , где f (x) — функция, определенная на спектре матрицы А.

4. Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра.

Случай № 1.

Пусть дана . Рассмотрим первый случай: характеристический многочлен имеет ровно n корней, среди которых нет кратных, т. е. все собственные значения матрицы, А различны, т. е. , Sp A — простой. В этом случае построим базисные многочлены l_k(x):

.

Пусть f (x) — функция, определенная на спектре матрицы, А и значениями этой функции на спектре будут . Надо построить .

Построим:

.

Обратим внимание, что .

Построим базисные многочлены:

.

Возьмем , тогда интерполяционный многочлен

.

Характеристический многочлен матрицы, А имеет кратные корни, но минимальный многочлен этой матрицы является делителем характеристического многочлена и имеет только простые корни, т. е. . В этом случае интерполяционный многочлен строится так же как и в предыдущем случае.

Рассмотрим общий случай. Пусть минимальный многочлен имеет вид:

,

где m₁+m₂+…+m_s=m, deg r (x)<m.

Составим дробно-рациональную функцию:

и разложим ее на простейшие дроби.

Обозначим: . Умножим (*) на и получим

где — некоторая функция, не обращающаяся в бесконечность при .

Если в (**) положить , получим:

Для того, чтобы найти a_k3 надо (**) продифференцировать дважды и т. д. Таким образом, коэффициент a_ki определяется однозначно.

После нахождения всех коэффициентов вернемся к (*), умножим на m (x) и получим интерполяционный многочлен r (x), т. е.

.

.

Найдем минимальный многочлен матрицы А:

.

Проверим, определена ли функция на спектре матрицы А