Матричный анализ
Матричный анализ
. Функции от матриц.
- Определение функции.
- Свойства функций от матриц.
Df. Пусть — функция скалярного аргумента. Требуется определить, что понимать под f (A),
Решение этой задачи известно, когда f (x) — многочлен: , тогда
.
Определение f (A) в общем случае.
Пусть m (x) — минимальный многочлен, А и он имеет такое каноническое разложение ,
,
— собственные значения А. Пусть многочлены g (x) и h (x) принимают одинаковые значения.
Пусть g (A)=h (A) (1), тогда многочлен d (x)=g (x)-h (x) — аннулирующий многочлен для А, так как d (A)=0, следовательно, d (x) делится на линейный многочлен,
Тогда ,
(3),
,
,
.
Условимся m чисел для f (x) таких называть значениями функции f (x) на спектре матрицы А, а множество этих значений будем обозначать
.
Если множество f (Sp A) определено для f (x), то функция определена на спектре матрицы А.
Из (3) следует, что многочлены h (x) и g (x) имеют одинаковые значения на спектре матрицы А.
Наши рассуждения обратимы,
Значения функции f (x) на спектре матрицы, А должны полносильно определить f (A),
Df. Если f (x) определена на спектре матрицы А, то f (A)=g (A), где g (A) — многочлен, принимающий на спектре те же значения, что и f (A),
Df.Значением функции от матрицы А назовем значение многочлена от этой матрицы при .
Среди многочленов из С[x], принимающих одинаковые значения на спектре матрицы А, что и f (x), степени не выше (m-1), принимающий одинаковые значения на спектре А, что и f (x) — это остаток от деления любого многочлена g (x), имеющего те же значения на спектре матрицы А, что и f (x), на минимальный многочлен m (x)=g (x)=m (x)*g (x)+r (x).
Этот многочлен r (x) называют интерполяционным многочленом Лагранжа-Сильвестра для функции f (x) на спектре матрицы А.
Замечание. Если минимальный многочлен m (x) матрицы, А не имеет кратных корней, , то значение функции на спектре
.
Пример:
Найти r (x) для произвольной f (x), если матрица
. Построим f (H1). Найдем минимальный многочлен H1 — последний инвариантный множитель [xE-H1]:
, dn-1=x2; dn-1=1;
mx=fn(x)=dn(x)/dn-1(x)=xnЮ0 — n -кратный корень m (x),
, r (0)=f (0), r'(0)=f'(0),…, r(n-1)(0)=f(n-1)(0) Ю
.
Свойство № 1. Если матрица имеет собственные значения
(среди них могут быть и кратные), а
, то собственными значениями матрицы f (A) являются собственные значения многочлена f (x):
.
Доказательство:
Пусть характеристический многочлен матрицы, А имеет вид:
,
,
. Посчитаем
. Перейдем от равенства к определителям:
Сделаем замену в равенстве:
(*)
Равенство (*) справедливо для любого множества f (x), поэтому заменим многочлен f (x) на , получим:
.
Слева мы получили характеристический многочлен для матрицы f (A), разложенный справа на линейные множители, откуда следует, что — собственные значения матрицы f (A).
ЧТД.
Свойство № 2. Пусть матрица и
— собственные значения матрицы А, f (x) — произвольная функция, определенная на спектре матрицы А, тогда собственные значения матрицы f (A) равны
.
Доказательство:
Т.к. функция f (x) определена на спектре матрицы А, то существует интерполяционный многочлен матрицы r (x) такой, что , а тогда f (A)=r (A), а у матрицы r (A) собственными значениями по свойству № 1 будут
которым соответственно равны
.
ЧТД.
Свойство № 3. Если, А и В подобные матрицы, ,
, и f (x) — произвольная функция, определенная на спектре матрицы А, тогда
Доказательство:
Т.к. А и В подобны, то их характеристические многочлены одинаковы Ю одинаковы и их собственные значения, поэтому значение f (x) на спектре матрицы, А совпадает со значение функции f (x) на спектре матрицы В, при чем существует интерполяционный многочлен r (x) такой, что f (A)=r (A), ,
Ю
.
ЧТД.
Свойство № 4. Если, А — блочно-диагональная матрица , то
Следствие: Если , то
, где f (x) — функция, определенная на спектре матрицы А.
- Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра.
Случай № 1.
Пусть дана . Рассмотрим первый случай: характеристический многочлен
имеет ровно n корней, среди которых нет кратных,
, Sp A — простой. В этом случае построим базисные многочлены lk(x):
.
Пусть f (x) — функция, определенная на спектре матрицы, А и значениями этой функции на спектре будут . Надо построить
.
Построим:
.
Обратим внимание, что .
Пример: Построить интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра для матрицы .
Построим базисные многочлены:
Тогда для функции f (x), определенной на спектре матрицы А, мы получим:
.
Возьмем , тогда интерполяционный многочлен
.
Случай № 2.
Характеристический многочлен матрицы, А имеет кратные корни, но минимальный многочлен этой матрицы является делителем характеристического многочлена и имеет только простые корни, . В этом случае интерполяционный многочлен строится так же как и в предыдущем случае.
Случай № 3.
Рассмотрим общий случай. Пусть минимальный многочлен имеет вид:
,
где m1+m2+…+ms=m, deg r (x)<m.
Составим дробно-рациональную функцию:
и разложим ее на простейшие дроби.
Обозначим: . Умножим (*) на
и получим
где — некоторая функция, не обращающаяся в бесконечность при
.
Если в (**) положить , получим:
Для того, чтобы найти ak3 надо (**) продифференцировать дважды
После нахождения всех коэффициентов вернемся к (*), умножим на m (x) и получим интерполяционный многочлен r (x),
.
Пример: Найти f (A), если , где t — некоторый параметр,
.
Найдем минимальный многочлен матрицы А:
.
Проверим, определена ли функция на спектре матрицы А
Умножим (*) на (х-3)