Математическое моделирование

S2 = SDyj 2= S [yj-(a + bx +cx2)]2 (16)

Исходя из условия минимума этой суммы, частные производные S2 по а, bи сприравниваются к нулю. Выполнив необходимые преобразования, получим систему трех уравнений с тремя неизвестными для определения a, b и с.

,Sy = m a + bSx + cSx2

Syx = aSx + bSx2 + cSx2.

Syx2 = aSx2 + bSx3 + cSx4 . (17).

Решая систему уравнений относительно a,bис, находим численные значения коэффициентов регрессии. Величины Sy,Sx, Sx2,Syx,Syx2, Sx3, Sx4.находятся непосредственно по данным производственных измерений.

Оценкой тесноты связи при криволинейной зависимости служит теоретическое корреляционное отношение h, представляющее собой корень квадратный из соотношения двух дисперсий: среднего квадрата sр2отклонений расчетных значений y' jфункции по найденному уравнению регрессии от среднеарифметического значения Yвеличины y к среднему квадрату отклонений sy2 фактических значений функции y jот ее среднеарифметического значения :

h = {sр2/sy2}½ = {S (y' j — Y)2 /S (y j — Y)2 } ½(18)

Квадрат корреляционного отношения h2 показывает долю полной изменчивости зависимой переменной у, обусловленную изменчивостью аргумента х. Этот показатель называется коэффициентом детерминации. В отлично от коэффициента корреляции величина корреляционного отношения может принимать только положительные значения от 0 до 1. При полном отсутствии связи корреляционное отношение равно нулю, при наличии функциональной связи оно равно единице, а при наличии регрессионной связи различной тесноты корреляционное отношение принимает значения между нулем и единицей. Выбор типа кривой имеет большое значение в регрессионном анализе, поскольку от вида выбранной взаимосвязи зависит точность аппроксимации и статистические оценки тесноты связи. Наиболее простой метод выбора типа кривой состоит в построении корреляционных полей и в подборе соответствующих типов регрессионных уравнений по расположению точек на этих полях. Методы регрессионного анализа позволяют отыскивать численные значения коэффициентов регрессии для сложных видов взаимосвязи параметров, описываемых, например, полиномами высоких степеней. Часто вид кривой может быть определен на основе физической сущности рассматриваемого процесса или явления. Полиномы высоких степеней имеет смысл применять для описания быстро меняющихся процессов в том случае, если пределы колебания параметров этих процессов значительные.

Применительно к исследованиям металлургического процесса достаточно использовать кривые низших порядков, например параболу второго порядка.