Конспекты лекций по математической логике
Конспекты лекций по математической логике
- Теория алгоритмов
1.1 Различные подходы к определению алгоритма:
10. Неформальное понятие алгоритма (последовательность инструкций для выполнения действия).
20. Машина с неограниченными регистрами (МНР).
30 Машина Тьюринга — Поста (МТ-П).
40 Нормальные алгоритмы Маркова (НАМ).
1.1.1 Машина с неограниченными регистрами (МНР).
Имеется некое устройство, в котором счетное число ячеек памяти (регистров), в которых хранятся целые числа.
Допустимые команды:
Z (n) - обнуление регистра Rn.
S (n) - увеличение числа в регистре Rnна 1.
T (m, n) - копирует содержимое Rm в регистор Rn.
I (p, q, n) — если содержимое Rp = Rq то выполняется команда с номером n , если нет
следующая.
Программа для МНР должна быть последовательностью команд Z, S, T, I с определенным порядком, выполняемые последовательно.
Тезис Черча (Churcha): Первое и второе определение алгоритма эквивалентны между собой. Любой неформальный алгоритм может быть представлен в программе для МНР.
1.1.2 Машина Тьюринга — Поста.
Имеется устройство просматривающее бесконечную ленту, где есть ячейки содержащие элементы алфавита: , где — пустой символ (пустое слово), который может принадлежать и не принадлежать А. Также существует управляющая головка (устройство) (УУ)/(УГ), которая в начальный момент расположена в определенном месте, в состоянии . Также существуют внутренние состояния машины:
Слово в данном алфавите — любая конечная упорядоченная последовательность букв данного алфавита, притом длина слова это количество букв в нем (у пустого слова длина 0).
Допустимые команды:
1) , где . 2) (остановка программы). | Последовательность команд называется программой, если в этой последовательности не встречается команд с одинаковыми левыми частями. Машина останавливается если она не находит команды с левой частью подобной текущей. |
1.1.3 Нормальные алгоритмы Маркова.
Тип машины перерабатывающий слова, в которой существует некий алфавит , для которого W — множество всех слов.
Допустимые команды: (Для машин этого типа важна последовательность команд.)
где | Пример: Программа: |
1.1.4 Реализация функции натурального переменного.
но мы допускаем не всюду определенную функцию.
то это означает, что
притом , если f не определена, то и программа не должна ничего выдавать.
притом , если f не определена, то и программа не должна ничего выдавать.
(, а числа представляются в виде , например .)
1.2 Эквивалентность трех подходов к понятию алгоритм.
1.2.1 Теорема об эквивалентности понятия вычислимой функции.
вычислима: ()
- Если существует программа МНР, которая вычисляет эту функцию.
- Если существует программа МТ-П, которая вычисляет эту функцию.
- Если существует программа НАМ, которая вычисляет эту функцию.
Использование НАМ:
Теор.: Классы функций вычислимых на МТ-П, с помощью НАМ и с помощью МНР совпадают.
Пусть которая вычисляется на МТ-П, вычислим её на НАМ.
МТ-П:
НАМ:
Команда МТП: преобразуется по правилам:
Команда МТП:
2. Булевы функции.
2.1 Основные определения
2.1.1 Декартово произведение
— мн-во всевозможных упорядоченных пар элементов из, А и В.
Пример:
2.1.2 Декартова степень произвольного множества.
Опр: — множество всевозможных упорядоченных наборов длины n, элементов множества А.
2.1.3 Определение булевой функции от n переменных.
Любое отображение — называется булевой функцией от n переменных, притом множество
2.1.4 Примеры булевой функции.
- логическая сумма (дизъюнкция).
- логическое умножение (конъюнкция).
- сложение по модулю два.
- логическое следствие (импликация).
2.1.5 Основные булевы тождества.
- (ассоциативность)
- (коммутативность)
- (свойство нуля)
- (закон поглощения для 1)
- (ассоциативность)
- (коммутативность)
- (свойство нуля по умножению)
- (свойство нейтральности 1 по умножению)
- (дистрибутивность)
- (дистрибутивность 2)
- (закон поглощения)
- (Законы
- де Моргана)
- (закон снятия двойного отрицания)
- (tertium non datur — третьего не дано)
- (ассоциативность)
- (Свойства
2.2 Дизъюнктивные нормальные формы.
2.2.1 Основные определения.
— конечный алфавит из переменных.
Рассмотрим слово:
Экспоненциальные обозначения:
— элемент конъюнкции.
S — длина элемента конъюнкции.
ДНФ — дизъюнкция нескольких различных элементарных конъюнкций.
Любая булева функция может быть представлена как ДНФ
2.2.2 Теорема о совершенной ДНФ.
Любая булева функция тождественно не равная 0 может быть разложена в ДНФ следующего вида:
Опр: Носитель булевой функции
.
Лемма:
- это элементарно
- возьмем набор
а)
б)
Доказательство: , будем доказывать, что.
- Докажем, что . Возьмем он попадает в число суммируемых наборов и по нему будет проводиться сумирование.
- Докажем, что . Возьмем другой набор из
Следовательно
2.2.3 Некоторые другие виды ДНФ.
Опр: — называется минимальной ДНФ, если она имеет — наименьшую возможную длину из всех ДНФ данной функции.
Опр: — называется тупиковой ДНФ, если из неё нельзя выбросить ни одного слагаемого с сохранением булевой функции.
(Легко понять, что любая минимальная ДНФ является тупиковой, а обратное не верно.)
Опр: К-мерной гранью называется такое подмножество , которая является носителем некоторой элементарной конъюнкции длины: n-k.
Опр: Предположим дана функция и есть . Грань называется отмеченной, если она целиком содержится в носителе Т.
Опр: Максимальная грань — это такая грань, которая не содержится ни в какой грани более высокой размерности.
Предложение: Любую отмеченную грань можно вложить в максимальную грань.
Предложение:
(Носитель любой функции можно разложить в объединение нескольких граней разной размерностей)
Предложение: Носитель любой функции разлагается в объединение всех своих максимальных граней.
Опр: Элементарная конъюнкция называется минимальной, если её носитель является максимальной гранью. Следовательно всякая булева функция разлагается в дизъюнкцию всех своих элементарных конъюнкций.
Опр: Сокращенная ДНФ — разложение данной булевой функции в соответствующие ДНФ, которые соответствуют объединению её максимальных граней.
Теор: Минимальная ДНФ может быть получена из сокращенной отбрасыванием некоторого количества слагаемых, возможно пустого.
3 Логические Исчисления.
3.1 Исчисления высказывания (ИВ).
3.1.1 Определения.
Опр: V — словом в алфавите А, называется любая конечная упорядоченная последовательность его букв.
Опр: Формативная последовательность слов — конечная последовательность слов и высказываний , если они имеют формат вида:
Опр: F — формулой ИВ, называется любое слово, входящее в какую-нибудь формативную последовательность.
Пример:
Опр: Аксиомы — специально выделенное подмножество формул.
Reg — правила вывода ИВ (некоторые правила преобразования первого слова в другое).
a — символ переменной
— произвольное слово ИВ (формула)
Отображение действует так, что на место каждого вхождения символа а, пишется слово .
Пример:
Правило modus ponens:
3.1.2 Формальный вывод.(простейшая модель доказательства теоремы)
Опр: Последовательность формул ИВ, называется формальным выводом, если каждая формула этой последовательности имеет следующий вид:
Опр: Выводимый формулой (теоремой) ИВ называется любая формула входящая в какой-нибудь формальный вывод. — выводимая формула ИВ.
Пример:
1) | ||
2) | ||
3) | ||
4) | ||
5) | ||
6) |
Правило одновременной подстановки.
Замечание: Если формула выводима, то выводима и
Возьмем формативную последовательность вывода и добавим в неё , получившаяся последовательность является формальным выводом.
(Если выводима то если , то выводима )
Теор: Если выводимая формула , то ( — различные символы переменных) выводима
Выберем — символы переменных которые различны между собой и не входят не в одну из формул , сделаем подстановку и последовательно применим и в новом слове делаем последовательную подстановку: , где — является формальным выводом.
3.1.3 Формальный вывод из гипотез.
Опр: Формальным выводом из гипотез (формулы), называется такая последовательность слов , каждая из которых удовлетворяет условию:
если формулу можно включить в некоторый формальный вывод из гипотез .
Лемма:; : то тогда
Напишем список:
Лемма:
Док:
3.1.4 Теорема Дедукции.
Если из
- и 2а) , где по правилу m.p.
2б) — уже выводили , ч.т.д.
Базис индукции: N=1 — формальный вывод из длинного списка
(только что доказано), осуществим переход по индукции:
по индукции
и по лемме 2
Пример:
по теореме дедукции
3.2 Критерий выводимости в ИВ.
3.2.1 Формулировка теоремы.
— тавтология
при любой интерпретации алфавита (символов переменных)
3.2.2 Понятие интерпретации.
символ переменной переменную поставим в соответствие.
, где — проекция на .
; — только символ
переменных, т.к.
это заглавное слово
формативной последо-
вательности вида:
Где:
3.2.3 Доказательство теоремы.
формальный
вывод
3.3 Непротиворечивость ИВ.
3.3.1 Определение.
- ИВ противоречиво, если формула А выводима в нем. .
- формула выводима в ИВ)ИВ противоречиво.
ИВ непротиворечиво, если оно не является противоречивым.
Теорема: ИВ является непротиворечивым исчислением по отношению к любому из трех определений.
Док-во: (1) Если , то соответствующая ей булева функция будет тождественно равна 1.
(2) Если любая формула выводима, то выводима и А, что соответствует пункту 1.
(3) Пусть и — булева функция
— противоречие.
3.4 Формальные исчисления.
Алфавит — конечное или счетное множество символов, возможно, разбитых на группы. Алфавит должен быть упорядоченным множеством.
Слово — конечная упорядоченная последовательность символов алфавита,
V — множество всех слов.
Вычислимая функция от нескольких натуральных переменных
(f — может быть не всюду определенной)
f — называется вычислимой, если такая машина Тьюринга, которая её вычисляет.
— разрешимое множество, если характеристическая функция
— является вычислимой.
Множество называется перечислимым, если такая вычислимая функция
М — разрешимо М и N \M перечислимы.
М — перечислимо М — область определения некоторой вычислимой функции.
Множество всех формул F — некоторое разрешимое подмножество V.
Т — счетное множество, если его биективное отображение на V.
— обозначение счетного множества. ( — алеф-нуль)
Если и зафиксировано биективное и вычислимое отображение (вычис.),
то L — ансамбль.
V — ансамбль (слова лексикографически упорядочены и занумерованы)
Определение: В произвольном формальном исчислении: — множество всех аксиом — разрешимое подмножество множества всех формул.
Правило вывода:
, при разрешимо. Для ИВ N=2.
Пример:
(пустое слово),
1 и 2 — формальные выводы.
3 — не является формальным выводом.
4 Предикаты и кванторы.
4.1 Определение предиката.
— высказывание, содержащее переменную.
— предметная область предиката.
Пусть, А — множество объектов произвольной природы (предметная область предиката).
-местный предикат — произвольное отображение
Множество истинности данного предиката
—
— характеристическая
функция от x на множестве
А — совпадает
с предикатами
4.2 Понятие квантора.
k — связанная переменная
n — свободная переменная
t — свободная, x — связанная.
, a, b, y — свободные переменные, x — связанная.
4.3 Геометрическая интерпретация навешивания кванторов.
— ортогональная проекция на ось x |
Пронесение отрицания через кванторы
Геометрическое 'доказательство':
не обладает свойством, что прямая целиком лежит в
ч.т.д.