Комплексные числа

Множество ступенчатых функций плотно в .

Множество линейных комбинаций характеристических функций всюду плотно в .

Доказать: любую характеристическую функцию измеримого множества можно сколь угодно точно аппроксимировать финитными функциями.

Любое измеримое множество сколь угодно точно может быть аппроксимировано открытыми областями.

Доказать: характеристическую функцию можно сколь угодно точно аппроксимировать финитными бесконечно гладкими функциями.

Рассмотрим  — финитная, бесконечно дифференцируема в .

Значит, .

Аппроксимация получена.

Теорема 2.

Множество непрерывных функций всюду плотно в пространстве .

Определение 2.

Пусть и считается продолженной нулем вне Q. Скажем:

f — непрерывна в среднеквадратичном, если :

.

Теорема 3.

Любая функция из непрерывна в среднеквадратичном.

Доказательство.