Комплексные числа
Множество ступенчатых функций плотно в .
Множество линейных комбинаций характеристических функций всюду плотно в .
Доказать: любую характеристическую функцию измеримого множества можно сколь угодно точно аппроксимировать финитными функциями.
Любое измеримое множество сколь угодно точно может быть аппроксимировано открытыми областями.
Доказать: характеристическую функцию можно сколь угодно точно аппроксимировать финитными бесконечно гладкими функциями.
Рассмотрим — финитная, бесконечно дифференцируема в .
Значит, .
Аппроксимация получена.
Теорема 2.
Множество непрерывных функций всюду плотно в пространстве .
Определение 2.
Пусть и считается продолженной нулем вне Q. Скажем:
f — непрерывна в среднеквадратичном, если :
.
Теорема 3.
Любая функция из непрерывна в среднеквадратичном.
Доказательство.