Какие гипотезы можно проверять с помощью двухвыборочного критерия Вилкоксона?
E (S) = m (m+n+1)/2, D (S) = mn (m+n+1)/ 12 (3) .
Следовательно, распределение нормированной и центрированной статистики Вилкоксона
T = (S — m (m+n+1)/2) (mn (m+n+1)/ 12) — ½ (4)
при росте объемов выборок приближается к стандартному нормальному распределению (с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1).
Правила принятия решений и таблица критических значений для критерия Вилкоксона строятся в предположении справедливости гипотезы полной однородности, описываемой формулой (2). А что будет, если эта гипотеза неверна? Другими словами, какова мощность критерия Вилкоксона?
Пусть объемы выборок достаточно велики, так что можно пользоваться асимптотической нормальностью статистики Вилкоксона. Тогда в соответствии с формулами (1) статистика T будет асимптотически нормальна с параметрами
E (T) = (12mn) ½ (½ — a) (m+n+1) — ½ ,
D (T) = 12 [(n — 1) b2 + (m — 1) g2 + a (1 -a) ] (m+n+1) — 1. (5)
Из формул (5) видно большое значение гипотезы
H01: a = P (X < Y) = ½. (6)
Если эта гипотеза неверна, то, поскольку m # n, справедлива оценка
u E (T) u $ (12m n (2n+1) — 1) ½ u ½ — au ,
а потому u E (T) u безгранично растет при росте объемов выборок. В то же время, поскольку
b2 # # 1, g2 # # 1, a (1 -a)#¼,
то
D (T) # 12 [(n — 1) + (m — 1) + ¼] (m+n+1) — 1 # 12. (7)
Следовательно, вероятность отклонения гипотезы H01, когда она неверна,
АH01: a = P (X < Y) ё ½. (8) .
Если же гипотеза (6) верна, то статистика T асимптотически нормальна с математическим ожиданием 0 и дисперсией, определяемой формулой
D (T) = 12 [(n — 1) b2 + (m — 1) g2 + ¼ ] (m+n+1) — 1. (9)
Гипотеза (6) является сложной, дисперсия (9), как показывают приводимые ниже примеры, в зависимости от значений b2 и g2 может быть как больше 1, так и меньше 1, но согласно неравенству (7) никогда не превосходит 12.
Приведем пример двух функций распределения F (x) и G (x) таких, что гипотеза (6) выполнена, а гипотеза (2) — нет. Поскольку
a = P (X < Y) = т F (x)dG (x), 1 — a = P (Y < X) = т G (x)dF (x) (10) ,
и a = ½ в случае справедливости гипотезы (2), то для выполнения условия (6) необходимо и достаточно, чтобы