Исследование точности численного интегрирования Research of Accuracy of Numerical Integration
Исследование точности численного интегрирования
Задание исследования
Провести исследование внутренней сходимости численного интегрирования методом Симпсона и трапеций различных функций, задаваемых с помощью языка С.
Подробное описание задачи и способы ее решения
Необходимо провести исследования так называемой внутренней сходимости численного интегрирования методами Симсона и трапеций различных функций, задаваемых с помощью функций языка С. Предполагается, что отрезок интегрирования [a, b] разбит на n равных частей системой точек (сеткой).
Контроль внутренней сходимости заключается в циклическом вычислении приближенных значений интеграла для удваиваемого по сравнению со значением на предыдущем прохождении цикла числа n. Отношения абсолютной величины разности этих значений к абсолютной величине предыдущего приближенного значения принимается в качестве критерия достижения точности интеграла.
Построить зависимости количеств итераций от различных величин критерия точности.
Построить обратные зависимости критерия точности от количества итераций.
Повторить все вышеуказанные исследования для случая, когда при вычислении критерия точности разность значений интеграла относится не к предыдущему значению, а к точному значению аналитически вычисленного интеграла.
Исследовать влияние увеличения верхнего предела интегрирования на точность (при прочих неизменных условиях)
Метод трапеций
, где
Метод Симпсона
, где
Результаты исследований
Таблица и график зависимости количества итераций от различных значений критерия точности
Для
Критерий точности | Количество итераций |
-0,1 676 631 | 14 |
-0,1 518 916 | 16 |
-0,46 931 | 12 |
-0,26 531 | 11 |
-0,2 639 | 10 |
-0,1 709 | 2 |
-0,1 297 | 9 |
-0,557 | 3 |
-0,25 | 8 |
-0,198 | 4 |
-0,96 | 5 |
-0,38 | 6 |
0 | 15 |
0,52 | 7 |
0,71 089 | 13 |
Критерий точности | Количество итераций |
-0,1 127 271 | 16 |
-0,750 288 | 15 |
-0,540 677 | 14 |
-0,21 415 | 12 |
-0,5 711 | 11 |
-0,458 | 9 |
-0,381 | 2 |
-0,191 | 3 |
-0,8 | 4 |
-0,4 | 5 |
-0,19 | 7 |
-0,2 | 6 |
0,5 | 8 |
0,2 983 | 10 |
0,164 377 | 13 |
Критерий точности | Количество итераций |
-0,66 709 | 13 |
-0,42 367 | 14 |
-0,3 561 | 10 |
-0,16 | 5 |
-0,1 | 4 |
0,5 | 3 |
0,6 | 6 |
0,9 | 2 |
0,9 | 7 |
0,223 | 8 |
0,56 | 9 |
0,2 782 | 11 |
0,3 474 | 12 |
0,5 293 | 16 |
0,53 267 | 15 |
Критерий точности | Критерий точности |
-61,4 469 795 | 12 |
-5,714 047 | 3 |
-1,215 755 | 13 |
-0,7 241 433 | 2 |
-0,5 121 117 | 4 |
-0,3 222 643 | 11 |
-0,2 163 614 | 7 |
-0,1 536 629 | 9 |
-0,930 261 | 14 |
0,353 183 | 16 |
0,57 059 | 15 |
0,1 697 371 | 5 |
0,2 025 534 | 10 |
0,2 504 728 | 6 |
0,6 202 592 | 8 |
Критерий точности | Количество итераций |
-0,119 308 | 16 |
-0,7 834 | 13 |
-0,79 | 3 |
-0,41 | 4 |
-0,37 | 7 |
-0,27 | 5 |
-0,27 | 6 |
-0,2 | 8 |
-0,16 | 2 |
0,3 | 10 |
0,62 | 9 |
0,385 | 11 |
0,802 | 12 |
0,5 452 | 15 |
0,16 689 | 14 |
Критерий точности | Количество итераций |
-0,26 286 | 16 |
-0,12 416 | 14 |
-0,118 | 3 |
-0,107 | 4 |
-0,46 | 5 |
-0,46 | 9 |
-0,28 | 6 |
-0,21 | 7 |
-0,5 | 2 |
0,11 | 10 |
0,18 | 8 |
0,23 | 11 |
0,58 | 12 |
0,1 049 | 13 |
0,27 928 | 15 |
Таблица и график зависимости значений критерия точности от количества итераций
Для функции
По отношению к предыдущему значению | По отношению к аналитическому значению | ||
Критерий точности | Количество итераций | Критерий точности | Количество итераций |
-0,1 709 | 2 | -0,1 932 | 2 |
-0,557 | 3 | -0,629 | 3 |
-0,198 | 4 | -0,224 | 4 |
-0,96 | 5 | -0,108 | 5 |
-0,38 | 6 | -0,43 | 6 |
0,52 | 7 | 0,58 | 7 |
-0,25 | 8 | -0,283 | 8 |
-0,1 297 | 9 | -0,1 466 | 9 |
-0,2 639 | 10 | -0,2 983 | 10 |
-0,26 531 | 11 | -0,2 998 | 11 |
-0,46 931 | 12 | -0,52 891 | 12 |
0,71 089 | 13 | 0,797 403 | 13 |
-0,1 676 631 | 14 | -0,2 014 365 | 14 |
0 | 15 | 0 | 15 |
-0,1 518 916 | 16 | -0,1 518 916 | 16 |
Для функции
По отношению к предыдущему значению | По отношению к аналитическому значению | |||||
Критерий точности | Количество итераций | Критерий точности | Количество итераций | |||
-0,381 | 2 | -0,666 | 2 | |||
-0,191 | 3 | -0,335 | 3 | |||
-0,8 | 4 | -0,141 | 4 | |||
-0,4 | 5 | -0,69 | 5 | |||
-0,2 | 6 | -0,4 | 6 | |||
-0,19 | 7 | -0,33 | 7 | |||
0,5 | 8 | 0,88 | 8 | |||
-0,458 | 9 | -0,802 | 9 | |||
0,2 983 | 10 | 0,522 | 10 | |||
-0,5 711 | 11 | -0,9 997 | 11 | |||
-0,21 415 | 12 | -0,37 465 | 12 | |||
0,164 377 | 13 | 0,286 955 | 13 | |||
-0,540 677 | 14 | -0,959 378 | 14 | |||
-0,750 288 | 15 | -0,1 259 331 | 15 | |||
-0,1 127 271 | 16 | -0,1 750 124 | 16 |
Сравнение результатов
Таблица сравнительных результатов
Метод трапеции n=1 000 000 | Метод Симпсона n =1 000 000 | Аналитический результат | Функция | Пределы |
4,5 051 475 | 4,5 240 183 | 4,49 980 967 | f (x)=1/x | 0,1…9 |
1,7 491 462 | 1,7 500 761 | 1,791 756 469 | f (x)=1/x*x | 0,3…5 |
1,9 991 885 | 1,9 999 505 | 2 | f (x)=sin (x) | 0…π |
-0,512 | 0,3 | 0 | f (x)=sin (2*x) | 0…π |
0,2 857 157 | 0,2 856 935 | 0,285 714 285 | f (x)=sin (7*x) | 0…π |
0,2 222 053 | 0,2 222 133 | 0,222 222 222 | f (x)=sin (9*x) | 0…π |
Таблица влияния увеличения верхнего предела на точность интегрирования
Аналитическое значение | Практическое значение | Верхний предел | Погрешность |
4,49 980 967 | 4,5 217 996 | 9 | -0,2 198 993 |
4,605 170 186 | 4,624 969 | 10 | -0,19 798 814 |
4,787 491 743 | 4,8 039 412 | 12 | -0,16 449 457 |
4,941 642 423 | 4,9 557 843 | 14 | -0,14 141 877 |
5,75 173 815 | 5,875 444 | 16 | -0,12 370 585 |
5,192 956 851 | 5,2 039 275 | 18 | -0,10 970 649 |
5,298 317 367 | 5,3 082 042 | 20 | -0,9 886 833 |
Следовательно, увеличение верхнего предела приводит к увеличению точности интегрирования
Текст программы
/* Курсовая работа по информатике
«Исследование точности численного интегрирования»