Исследование наилучших приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими тригонометрическими полиномами
Оглавление.
Наименование |
Введение |
§ 1. Некоторые вспомогательные определения |
§ 2. Простейшие свойства модулей нерперывности |
§ 3. Обобщение теоремы Джексона |
§ 4. Обобщение неравенства С.Н.Бернштейна |
§ 5. Дифференциальные свойства тригонометрических полиномов, аппроксимирующих заданную функцию |
§ 6. Обобщение обратных теорем С. Н. Бернштейна и Ш. Валле-Пуссена |
§ 7. Основная теорема |
§ 8. Решение задач |
Литература |
Введение
Дипломная работа посвящена исследованию наилучших приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами. В ней даются необходимые и достаточные условия для того, чтобы наилучшие приближения имели заданный (степенной) порядок убывания.
Дипломная работа носит реферативный характер и состоит из «Введения» и восьми параграфов.
В настоящей работе мы рассматриваем следующие задачи:
- При каких ограничениях на непрерывную функцию F(u)(-1 Ј u Ј+1) её наилучшие приближения En [F;-1,+1] обыкновенными многочленами имеют заданный порядок j (n-1 )?
- При каких ограничениях на непрерывную периодическую функцию f (x) её наилучшее приближение En[f] тригонометрическими полиномами имеют заданный порядок j (n-1 )?
Подстановка u=cos (x) сводит задачу 1 к задаче 2. Достаточно, следовательно, рассматривать лишь задачу 2.
Мы ограничимся случаем, когда j(d) ОNa, для некоторого a, где j(d) — функция сравнения р-го порядка и для 0<d<h Ј p
С.Н.Бернштейн, Д. Джексон и Ш. Валле-Пуссен получили зависимости между оценками сверху для En[f] и дифференциальными свойствами f. Некоторые дополнения к их теоремам доказаны А.Зигмундом. нам предстоит, поэтому, получить зависимости между дифференциальными свойствами f и оценками En[f] снизу. Впервые задачами типа 1 занимался С.Н.Бернштейн. А именно, им получено ассимптотическое равенство:
,
где m — некоторое число.
Наша основная теорема формулируется следующим образом:
Пусть j ОNa.Для того чтобы
необходимо, чтобы для любого натурального k>a, и достаточно, чтобы для некоторого натурального k>a
где
Изложим теперь кратко содержание каждого из параграфов работы.
В § 1 даётся ряд вспомогательных определений, которые понадобятся в дальнейшей работе.
В § 2 выводятся основные свойства модулей непрерывности высших порядков. Почти все эти свойства используются в дальнейшем тексте.
§ 3 посвящен обобщению теоремы Джексона. Как известно, Джексон доказал следующую теорему: если f имеет непрерывную r-ую производную f ®, то
Таким образом, теорема Джексона дает оценку сверху для наилучших приближений, если известны дифференциальные свойства аппроксимируемой функции.
В 1947 г. появилась работа С.Н.Бернштейна [1]. Одна из теорем этой работы содержит в качестве следствия такое предложение: пусть
Тогда
В § 3 доказываем:
(*)
В § 4 формулируется доказанное в работе С.Б.Стечкина [2] обобщение известного неравенства С.Н.Бернштейна [3], [4] для производных от тригонометрического полинома. Мы приводим затем ряд следствий из нашего неравенства (*). Они играют существенную роль при доказательстве теорем § 5.
В § 5 рассматривается следующая задача. Пусть тригонометрический полином tn, близок в равномерной метрике к заданной функции f или последовательность полиномов {tn} достаточно хорошо аппроксимирует заданную функцию f. Как связаны тогда дифференциальные свойства f с дифференциальными свойствами tn?
Если tn, образуется из f посредством регулярного метода суммирования рядов Фурье, то ответ тривиален: для того чтобы , необходимо и достаточно, чтобы равномерно относительно n. (fОHk[w], если ).
Оказывается, что этот результат сохраняется и для полиномов наилучшего приближения: для того, чтобы равномерно относительно n.
Отметим еще один результат параграфа: для того чтобы , необходимо и достаточно чтобы
.
§ 6 посвящён «обратным теоремам» теории приближения.
Известно предложение: пусть
.
Тогда, если a не целое, r=[a], b=a-r, то f имеет нерперывную производную .
Случай целого a рассмотрен Зигмундом. В этом случае
.
Нетрудно показать, что эти два предложения эквивалентны следующему: пусть 0<a<k и
.
Тогда
.
В работе [3] С.Н.Бернштейн доказал также эквивалентность условий и .
Мы переносим эти теоремы на условия вида
,
где j ОNa.
Кроме того, в этом параграфе доказано, например, такое предложение: пусть k — натуральное число и
;
для того, чтобы , необходимо и достаточно выполнение условия
.
В конце параграфа даются уточнения теорем Валле-Пуссена.
В § 7 доказывается основная теорема. Мы даём здесь же оценку En[f] снизу, если
.
Именно, тогда
Случай a=0 установлен С.Н.Бернштейном [3].В § 8 мы рассматриваем несколько решений задач с использованием различных модулей непрерывности.
§ 1. Некоторые вспомогательные определения.
В работе рассматриваются непрерывные функции f с периодом 2p и их приближение тригонометрическими полиномами. Через tn(x)обозначается тригонометрический полином порядка не выше n, а через tn*(x)=tn*(x, f)-тригонометрический полином, наименее уклоняющийся от f среди всех tn(x). Мы полагаем и пишем
Введём ряд определений.
Определение 1. При каждом фиксированном классом Липшица порядка a называется множество всех непрерывных функция f, модуль непрерывности каждой из которых удовлетворяет условию
где С8-какая-нибудь положительная постоянная, которая не зависит от d и которая, вообще говоря, является различной для разных функций. Этот класс обозначается Ha или Lip a.
Определение 2. Обозначим при фиксированном натуральном r через W®L класс функций f, которая имеет абсолютно непрерывные производные до (r-1) порядка и у которой r-я производная принадлежит классу L.
Определение 3. Для непрерывной на [a, b] функции f (x)назовём модулем непрерывности первого порядка или же просто модулем непрерывности функцию w(d)=w(f;d), определённую на [0, b-a] при помощи следующего равенства:
(1.1)
или, что-то же самое,
(1.1')
Свойства модуля непрерывности:
- w (0)=0;
- w (d) есть функция, монотонно возрастающая;
- w (d) есть функция непрерывная;
- w (d) есть функция полуаддитивная в том смысле, что для любых и
(1.2)
Доказательство. Свойство 1) вытекает из определения модуля непрерывности.
Свойство 2) вытекает из того, что при больших d нам приходится рассматривать sup на более широком множестве значений h. Свойство 4) следует из того, что если мы число представим в виде h=h1+h2, и , то получим
Из неравенства (1.2) вытекает, что если то
Теперь докажем свойство 3). Так как функция f (x) равномерно непрерывна на [a, b], то при и, следовательно, для любыхd,
при
а это и означает, что функция w (d) непрерывна.
Определение 4. Пусть функция f (x)определена на сегменте [a, b]. Тогда для любого натурального k и любых и h>0 таких, что k-й разностью функции f в точке x с шагом h называется величина
(1.4)
а при и h>0 таких, что k-й симметричной разностью — величина
(1.4')
Лемма 1. При любых натуральных j и k справедливо равенство
(1.5)
Доказательство. Действительно, так как при любом натуральном k
то
Лемма доказана.
Лемма 2. При любых натуральных k и n верна формула:
(1.6)
Доказательство. Воспользуемся индукцией по k. При k=1 тождество (1.6) проверяется непосредственно:
.
Предполагая его справедливость при k-1 (kі2), получим
Лемма доказана.
Определение 5. Если измеримая периода (b-a) функция f(x)ОLq (Lq-класс всех вещественных измеримых на [a, b] функции f(x)), то под её интегральным модулем гладкости порядка kі1 понимают функцию
Лемма 3. Если то справедливо
(1.7)
Доказательство. В самом деле,
и так далее. Лемма доказана.
Определение 6. Если функция f (x) ограничена на [a, b], то под её модулем гладкости порядка kі1 понимают функцию
заданную для неотрицательных значений и в случае, когда k=1, представляющую собой модуль непрерывности.
Свойства модулей гладкости:
- есть функция, монотонно возрастающая;
- есть функция непрерывная;
- При любом натуральном n имеет место (точное) неравенство
(1.8)
а при любом -неравенство
(1.8')
5) Если функция f(x)имеет всюду на [a, b] непрерывные производные до (r-1)-го порядка, и при этом (r-1)-я производная , то
(1.9)
Доказательство. 1) Свойство 1) немедленно вытекает из того, что
2) Свойство 2) доказывается точно так же, как и для случая обычного модуля непрерывности.
3) Предполагая для определённости, что d>d', получим
Этим непрерывность функции wk(d) доказана.
4) Используя равенство лемму 2 § 1, имеем
Этим неравенство (1.8) доказано. Неравенство (1.8') следует из монотонности функции wk(t) и неравенства (1.8).
5) Используя равенства лемму 1 и лемму 3 § 1, получим
Определение 7. Пусть k-натуральное число. Будем говорить, что функция есть модуль непрерывности k-го порядка функции f, если
где -конечная разность функции f k-го порядка с шагом h:
Среди модулей непрерывности всех порядков особенно важное значение имеют случаи k=1 и k=2. Случай k=1 является классическим; вместо мы будем писать просто и называть эту функцию модулем непрерывности; функцию мы будем называть модулем гладкости.
Определение 8. Зададим натуральное число k. Будем говорить, что функция -есть функция сравнения k-го порядка, если она удовлетворяет следующим условиям:
- определена для ,
- не убывает,
- ,
Нетрудно показать, что если f є 0, то есть функция сравнения k-го порядка (см. Лемму 5 § 2).
Определение 9. Зафиксируем натуральное число k и функцию сравнения k-го порядка . Будем говорить, что функция f принадлежит к классу , если найдётся константа С10>0 такая, что
Вместо будем писать просто Hka.
Если для последовательности функций {fn} (n=1,2,…)
где С10 не зависит от n, то будем писать: равномерно относительно n.
Понятие классов является естественным обобщением классов Липшица и классов функций, имеющих ограниченную k-ю производную.
Определение 10. Зафиксируем число a>0 и обозначим через p наименьшее натуральное число, не меньше чем a(p=-[- a]). Будем говорить, что функция принадлежит к классу , если она
1) есть функция сравнения p-го порядка и
2) удовлетворяет условию: существует константа С11>0 такая, что для
Условие 2) является небольшим ослаблением условия « не убывает». Функции класса Na будут играть основную роль во всём дальнейшем изложении.
Определение 11. Будем говорить, что функция имеет порядок , если найдутся две положительные константы С12и С13 такие, что для всех t, для которых определены функции и ,
.
При выполнении этих условий будем писать
.
Определение 12. Ядром Дирихле n-го порядка называется функция
(1.10)
Это ядро является тригонометрическим полиномом порядка n и при этом
(1.10')
Определение 13. Ядром Фейера n-го порядка называется функция
(1.11)
Ядро Фейера Fn(t)является средним арифметическим первых n ядер Дирихле, и значит, является тригонометрическим полиномом порядка (n-1). Так что имеют место равенства
(1.11')
(1.11'')
где Dk(t)-ядра Дирихле.
Определение 14. Ядром Джексона n-го порядка называется функция
(1.12)
Свойства ядер Джексона.
а) При каждом n ядро Jn(t) является чётным неотрицательным тригонометрическим полиномом порядка 2n-2 вида
,
где jk=jk(n) — некоторые числа
б)
в)
г)
Доказательство.
а) Учитывая, что для ядер Fn(t) Фейера имеют место равенства
получим
где jk(k=1,2,…, 2n-2) -некоторые числа, и в частности, в силу ортогональности тригонометрической системы функций найдем
Этим свойство а) доказано.
б) Это равенство следует из равенства, полученного для j0.
в) Так как при любом и при (**), то
г) Совершенно аналогично случаю в) получим
Что и требовалось доказать.
Определение 15. Ядром типа Джексона порядка n называется функция
, (1.13)
n=1,2,3,…,k-натуральное, где
(1.13')
Ядра типа Джексона обладают следующими свойствами:
а)
б) При фиксированном натуральном k и произвольном n ядро Jn, k(t)
является чётным неотрицательным тригонометрическим полиномом порядка k(n-1)
в) n2k-1,
г) При любом s>0 имеет место неравенство
д) При любом натуральном
Доказательство свойств ядер типа Джексона.
а) Это свойство вытекает из равенств определения
б) Это свойство следует из 1-го неравенства определения и из того, что в силу равенств (1.11) и (1.11‘') будет
(1.14)
где — некоторые целые числа.
в) Учитывая неравенства (**), будем иметь
(1.15)
С другой стороны
(1.15‘)
г) Это неравенство вытекает из первого равенства определения и неравенства (1.15‘)
д) Действительно, с одной стороны, в силу неравенств (1.15‘) и (**)
(1.16)
где A-const, а с другой стороны, учитывая соотношение (1.15), неравенств (**) и из неравенства sintЈt, при всех tі0 (***), имеем
(1.16‘)
A1-const. Неравенства (1.16) и (1.16‘) равносильны условию, что и требовалось доказать.
§ 2. Простейшие свойства модулей нерперывности.
Этот параграф носит вспомогательный характер. Здесь устанавливается несколько простейших свойств модуля нерперывности высших порядков. Все рассматриваемые здесь функции f1, f2, … — непрерывны.
ЛЕММА 1. Для любого натурального k и любого dі0
(2.1)
Доказательство: по определению,
Лемма доказана.
ЛЕММА 2. Пусть f и l -натуральные числа, l<k. Тогда для любого dі0
(2.2)
и
(2.3)
Доказательство: Положим
Тогда для 0Јl<k имеем
откуда
Отсюда при l=0 вытекает, что
,
а при 0<l<k
Полагая в (2.3) l=1, находим, что
Из этого неравенства видно, что для любого натурального k
. (2.4)
ЛЕММА 3. Для любого натурального k модуль непрерывности k-го порядка является непрерывной функцией от d.
Доказательство: Пусть Имеем
Отсюда
и
Таким образом
и так как при , то отсюда вытекает непрерывность функции , и лемма доказана.
ЛЕММА 4. Пусть k и p-натуральные числа. Тогда для любого dі0
(2.5)
Доказательство: Индукция по k даёт формулу
Отсюда
и
Лемма доказана.
ЛЕММА 5. Пусть k-натуральное число, d>0, h>0. Тогда
(2.6)
Если кроме того 0<d<h, то
(2.7)
Доказательство: Докажем сперва неравенство (2.6). Рассмотрим случай для hЈd. Найдём натуральное число p из условий
(2.8)
Тогда h<pd-1, и так как -является неубывающей функцией от h, то принимая во внимание (2.5) и (2.8), получим
Рассмотрим случай для h<d. Найдём натуральное число p из условий
(2.9)
Тогда h<pd, и так как -является неубывающей функцией от h, то принимая во внимание (2.5) и (2.9), получим
,
и неравенство (2.6) доказано. Неравенство (2.7) вытекает из (2.6), так как d+hЈ2h для 0<d<h.
Неравенство (2.7) показывает, что для любой fє0 и любого натурального k
(2.10)
Лемма доказана.
ЛЕММА 6. Пусть f имеет r-ю производную f®. Тогда
(2.11)
и для любого натурального k
(2.12)
Доказательство: Оба неравенства непосредственно вытекают из формулы
Если k=0, то мы получаем формулу (2.11). Лемма доказана.
§ 3. Обобщение теоремы Джексона.
Здесь будет получено небольшое усиление теоремы Джексона о наилучших приближениях периодических функций тригонометрическими полиномами.
Лемма 7. Пусть дано натуральное число k. Существует последовательность ядер{Kn(t)}(n=0,1,…), где Kn(t) есть тригонометрический полином порядка не выше n, удовлетворяющая условиям:
(3.1)
(3.2)
(3.3)
Эту лемму можно считать известной. Как показывает простой подсчет, совершенно аналогичный проводившемуся Джексоном, в качестве ядер Kn(t) можно взять ядра Джексона достаточно высокой степени, то есть положить
где k0-целое, не зависит от n, натуральное p определяется из неравенства
,
а bp выбираются так, чтобы была выполнена нормировка (3.1).
Лемма 8. Если последовательность ядер {Kn(t)} удовлетворяет всем условиям предыдущей леммы, то
(3.4)
Доказательство. Имеем, пользуясь (3.2) и (3.3)
Лемма доказана.
Теорема 1. Пусть k-натуральное число. Тогда
(3.5)
Доказательство. Пусть последовательность ядер {Kn(t)} (n=1,1,2,…) удовлетворяет всем условиям леммы 7. Положим
Очевидно, есть тригонометрический полином порядка не выше n-1. Оценим Имеем
Поэтому
(3.6)
Оценим последний интеграл. Полагая в неравенстве (2.6) , получим, что
Отсюда и из (3.4) следует:
Подставляя эту оценку в (3.6), получаем утверждение теоремы. Теорема доказана.