Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов
(24)
также удовлетворяет этому уравнению и граничным условиям (9). Начальные условия позволяют определить An и Bn. Потребуем, чтобы функция (24) удовлетворяла условиям (10)
(25)
Из теории рядов Фурье известно, что произвольная кусочно-непрерывная и кусочно-дифференцируемая функция f (x), заданная в промежутке , разлагается в ряд Фурье
(26)
где
(27)
Если функции j (x) и y (x) удовлетворяют условиям разложения в ряд Фурье, то
(28)
(29)
Сравнение этих рядов с формулами (25) показывает, что для выполнения начальных условий надо положить
(30)
чем полностью определяется функция (24), дающая решение исследуемой задачи.
Итак, мы доказали, что ряд (24), где коэффициенты An и Bn определены по формуле (30), если он допускает двукратное почленное дифференцирование, представляет функцию u (x, t), которая является решением уравнения (1) и удовлетворяет граничным и начальным условиям (9) и (10).
Замечание. Решая рассмотренную задачу для волнового уравнения другим методом, можно доказать, что ряд (24) представляет решение и в том случае, когда он не допускает почленного дифференцирования. При этом функция должна быть дважды дифференцируемой, а — один раз дифференцируемой.
Глава 2. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
§ 2.1. Задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа.
- Уравнение распространения тепла в стержне.
Рассмотрим однородный стержень длины . Будем предполагать, что боковая поверхность стержня теплонепроницаема и что во всех точках поперечного сечения стержня температура одинакова. Изучим процесс распространения тепла в стержне.
Расположим ось Ох так, что один конец стержня будет совпадать с точкой х = 0, а другой — с точкой х = .
Рис. 2.1.
Пусть u (x, t) — температура в сечении стержня с абсциссой х в момент t. Опытным путем установлено, что скорость распространения тепла,
(1)
где S — площадь сечения рассматриваемого стержня, k — коэффициент теплопроводности.
Рассмотрим элемент стержня, заключенный между сечениями с абсциссами х1 и х2 (х2 — х1 = х). Количество тепла, прошедшего через сечение с абсциссой х1 за время t, будет равно
(2)
то же самое с абсциссой х2:
(3)
Приток Q1 — Q2 в элемент стержня за время t будет равняться:
(4)
Этот приток тепла за время t затратился на повышение температуры элемента стержня на величину u:
или
(5)
где с — теплоемкость вещества стержня, — плотность вещества стержня (xS — масса элемента стержня).
Приравнивая выражения (4) и (5) одного и того же количества тепла , получим:
Это и есть уравнение распространения тепла (уравнение теплопроводности) в однородном стержне.
Чтобы решение уравнения (6) было вполне определено, функция u (x, t) должна удовлетворять краевым условиям, соответствующим физическим условиям задачи. Краевые условия для решения уравнения (6) могут быть различные. Условия, которые соответствуют так называемой первой краевой задаче для , следующие:
u (x, 0) = φ(x), (7)
u (0, t) = ψ1(t), (8)
u (, t) = ψ2(t). (9)
Физическое условие (7) (начальное условие) соответствует тому, что при в разных сечениях стержня задана температура, равная φ(x). Условия (8) и (9) (граничные условия) соответствуют тому, что на концах стержня при х = 0 и при х = поддерживается температура, равная ψ1(t) и ψ2(t) соответственно.
Доказывается, что уравнение (6) имеет единственное решение в области , удовлетворяющее условиям (7) — (9).
2.1.2. Распространение тепла в пространстве.
Рассмотрим процесс распространения тепла в трехмерном пространстве. Пусть u (x, y, z, t) — температура в точке с координатами (x, y, z) с момент времени t. Опытным путем установлено, что скорость прохождения тепла через площадку s,
(10)
где k — коэффициент теплопроводности рассматриваемой среды, которую мы считаем однородной и изотропной, n — единичный вектор, направленный по нормали к площадке s в направлении движения тепла. Таким образом, можем записать:
где — направляющие косинусы вектора n, или
Подставляя выражение в формулу (10), получаем:
Q = -k n grad u s.
Количество тепла, протекающего за время ∆t через площадку ∆s, будет равно:
Qt = -k n grad u t s.
Вернемся к поставленной задаче. В рассматриваемой среде выделим малый объем V, ограниченный поверхностью S. Количество тепла, протекающего через поверхность S, будет равно:
(11)
где n — единичный вектор, направленный по внешней нормали к поверхности S. Очевидно, что формула (11) дает количество тепла, поступающего в объем V (или уходящего из объема V) за время t. Количество тепла, поступившего в объем V, идет на повышение температуры вещества этого объема.
Рассмотрим элементарный объем υ. Οσсть за время t его температура поднялась на u. Очевидно, что количество тепла, затраченное на это повышение температуры элемента υ, ασдет равно
где с — теплоемкость вещества, ρ - плотность. Общее количество тепла, затраченное на повышение температуры в объеме V за время t, будет
Но это есть тепло, поступающее в объем V за время t; оно определено формулой (11). Таким образом, имеет место равенство
Сокращая на t, получаем:
(12)
Поверхностный интеграл, стоящий в левой части этого равенства, преобразуем по формуле Остроградского (в векторной форме, где F — дивергенция векторного поля, — замкнутая поверхность)
полагая F = k grad u:
Заменяя двойной интеграл, стоящий в левой части равенства (12), тройным интегралом, получим:
Применив теорему о среднем к тройному интегралу, стоящего слева, получим :
(14)
где P (x, y, z) — некоторая точка объема V.
Так как мы можем выделить произвольный объем V в трехмерном пространстве, где происходит распространение тепла, и так как мы предполагаем, что подынтегральная функция в равенстве (13) непрерывна, то равенство (14) будет выполняться в каждой точке пространства. Итак,
(15)
Но
Подставляя в уравнение (15), получаем:
(16)
Если k — постоянное, то
и уравнение (15) в этом случае дает:
или, положив
(17)
Коротко уравнение (17) записывается так:
где u — оператор Лапласа. Уравнение (17) и есть уравнение теплопроводности в пространстве. Для того чтобы найти единственное решение, отвечающее поставленной задаче, нужно задать краевые условия.
Пусть имеем тело , поверхность которого . В этом теле рассматривается процесс распространения тепла. В начальный момент температура тела задана. Это соответствует тому, что известно значение решения при t = 0 — начальное условие:
u (x, y, z, 0) = φ (x, y, z). (18)
Кроме того, должна быть известна температура в любой точке М поверхности тела в любой момент времени t — граничное условие:
u (М, t) = ψ (М, t). (19)
(Возможны и другие граничные условия.)
Если искомая функция u (x, y, z, t) не зависит от z, что соответствует тому, что температура не зависит от z, то получаем уравнение:
(20)
- уравнение распространения тепла на плоскости. Если рассматривается распространения тепла в плоской области D с границей С, то граничные условия, аналогично (18) и (19), формулируются так:
u (x, y, 0) = φ (x, y),
u (М, t) = ψ (М, t),
где φ и ψ - заданные функции, М — точка границы С.
Если же функция u не зависит ни от z, ни от y, то получаем уравнение
— уравнение распространения тепла в стержне.
§ 2.2. Температурные волны.
Задача о распространении температурных волн в почве является одним из первых примеров приложения математической теории теплопроводности, развитой Фурье, к изучению явлений природы.