Интегральное исчисление. Исторический очерк
Ньютон трактовал определенный интеграл как разность соответствующих значений первообразной функции:
,
где F`(x)=f (x).
Для Лейбница определенный интеграл был суммой всех бесконечно малых дифференциалов.
.
Первая трактовка отвечала технике вычисления определенных интегралов при помощи первообразной подынтегральной функции, вторая — потому, что в приложениях определенный интеграл появлялся как предел известного вида суммы (интегральной суммы).
Примерно до последней четверти XVIII века первая трактовка понятия определенного интеграла занимала господствующее положение. Этому способствовали два обстоятельства.
С момента установления правил дифференцирования всех элементарных функций в начале XVIII века, началась успешная разработка методов нахождения их первообразных (рациональных, отдельных классов иррациональных и трансцендентных функций). Благодаря этому точка зрения Ньютона вполне отвечала развитию эффективных алгоритмов интегрального исчисления.
Непосредственное вычисление как предела интегральной суммы столкнулось с многими трудностями. Это обстоятельство укреплению точки зрения Лейбница, естественно, не способствовало.
Эйлер. Понятие об интегральной сумме.
Определение простого определенного интеграла по Лейбницу опиралось на понятие о бесконечно малых величинах, от которого математики XVIII века стремились освободить математический анализ. Это обстоятельство также способствовало укреплению точки зрения Ньютона.
Это хорошо подтверждается тем, как Леонард Эйлер использовал понятие об интегральной сумме. Он не возражал против приближенного вычисления определенных интегралов при помощи соответствующих интегральных сумм, но рассматривать определенный интеграл как предел интегральной суммы не представлялось возможным, потому что этом случае все слагаемые интегральной суммы становились бесконечно малыми, то есть, с точки зрения Эйлера, были нулями.