Интеграл Пуассона

Интеграл Пуассона

Пусть ¦(x), g(x), R1 -суммируемые на [-p, p], 2p- периодические, комплекснозначные функции. Через f*g (x) будем обозначать свертку

f*g (x) =dt

Из теоремы Фубини легко следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на [-p,p] и

cn (f*g) = cn (f)x cn (g), n = 0, ±1, ±2, … (1)

где { cn (f)} -- коэффициенты Фурье функции f (x) :

cn = -i n tdt, n = 0, ±1,±2,¼

Пусть ¦ÎL1 (-p,p). Рассмотрим при 0£ r <1 функцию

¦r (x) = n (f) r|n | ei n x, x Î[-p,p], (2)

где ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного r, 0£r <1. Коэффициенты Фурье функции ¦r(х) равны

cn (fr) = cnx r| n |, n = 0, ±1,±2,¼, а это согласно (1) значит, что ¦r ( x ) можно представить в виде свертки :

¦r (x) = , (3)

где

, t Î[-p,p]. (4)

Функция двух переменных Рr (t), 0 £r<1, t Î[-p,p], называется ядром Пуассона, а интеграл (3) -- интегралом Пуассона.

Следовательно,

Pr (t) = , 0£r <1, t Î[-p,p]. (5)

Если ¦Î L1 (-p,p) - действительная функция, то, учитывая, что

c-n (f) = `cn(f), n = 0,±1,±2,¼, из соотношения (2) мы получим :

fr (x) =

=, (6)

где

F (z) = c0 (f) + 2 (z = reix ) (7)

  • аналитическая в единичном круге функция. Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции ¦Î L1(-p, p) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция

u (z) = ¦r (eix ), z = reix, 0 £ r <1, x Î [ -p, p ] .

При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0 задается формулой

v (z) = Im F (z) = . (8)

Утверждение1.

Пусть u (z) — гармоническая (или аналитическая) в круге | z |<1+e(e>0) функция и ¦ (x) = u (eix), xÎ[-p, p]. Тогда

u (z) = (z = reix, | z |<1) (10).

Так как ядро Пуассона Pr (t) — действительная функция, то равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) — аналитическая функция:

=, | z |<1+ e .

Но тогда

и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).

Прежде чем перейти к изучению поведения функции ¦r (x) при r®1, отметим некоторые свойства ядра Пуассона:

а) ;

б) ;

в) для любого d>0

Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б) достаточно положить в (2) и (3) ¦(х)º1.

Теорема 1.

Для произвольной (комплекснозначной) функции (-p, p), 1 £ p < ¥, имеет место равенство

;

если же ¦ (x) непрерывна на [ -p, p ] и ¦ (-p) = ¦ (p), то

.

Доказательство.

В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона

(12)

Для любой функции , пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона, находим

.

Следовательно,

.

Для данного e>0 найдем d = d (e) такое, что . Тогда для r, достаточно близких к единице, мы получим оценку

.

Аналогично второе неравенство вытекает из неравенства

.

Теорема 1 доказана.

Дадим определения понятий «максимальная функция» и «оператор слабого типа», которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.

Определение1.

Пусть функция суммируема на любом интервале (-А, А), А > 0. Максимальной функцией для функции называется функция

где супремум берется по всем интервалам I, содержащим точку х.

Определение 2.

Оператор называется оператором слабого типа (р, р), если для любого y > 0

.

Теорема 2 (Фату).

Пусть — комплекснозначная функция из . Тогда

для п.в. .

Доказательство.

Покажем, что для и

, (13)

где С — абсолютная константа, а M (f, x) — максимальная функция для f (x). Для этой цели используем легко выводимую из (5) оценку

(К — абсолютная константа).

Пусть —  такое число, что

.

Тогда для

.

Неравенство (13) доказано. Используя затем слабый тип (1,1) оператора , найдем такую последовательность функций , что

,

(14)

для п.в. .

Согласно (13) при xÎ (-2p,2p)

Учитывая, что по теореме 1 для каждого xÎ [-p,p] и (14)

Из последней оценки получим

при n®¥.

Теорема 2 доказана.

Замечание.

Используя вместо (13) более сильное неравенство (59), которое мы докажем позже, можно показать, что для п.в. xÎ [-p,p] , когда точка reit стремится к eix по некасательному к окружности пути.

Мы считаем, что f (x) продолжена с сохранением периодичности на отрезок [-2p,2p] (т.е. f (x) = f (y) , если x, y Î [-2p, 2p] и x-y=2p) и f (x) = 0, если |x|>2p .