Задачи Пятого Турнира Юных Математиков
Настоящий реферат рассматривает решения задач некоторых задач отборочного этапа Пятого Всеукраинского турнира юных математиков (проводившегося г. Сумы). В кратком условии участия было отмечено, что «предлагаемые задачи достаточно сложны и необязательно должны быть решены полностью. Оцениваться будут и отдельные продвижения и разбор частных случаев. В некоторых случаях можно решить аналогичную или более простую задачу». Данный реферат имеет несколько не доведенных до конца задач, либо решенных частично. Также приведены некоторые задач финального тура.
«Геометрические миниатюры»
Условие: Зафиксируем на плоскости АВС и обозначим через SL, SM, SK площади треугольников, вершинами которых есть, соответственно, основания биссектрис, медиан и точек касания вписанной окружности. Доказать, что.
Решение
Решение задачи разобъем на четыре этапа:
- Докажем, что
- Докажем, что
- Докажем, что
- Из этапов (2) и (3) ясно, что , поэтому докажем, что
Этап 1: Найдем отношение площади треугольника, вершинами которого являются точки касания вписанной окружности, к площади данного треугольника АВС.
Пусть окружность касается сторон АВ, ВС и АС соответственно в точках P, S и Q. Обозначим отрезки AP, CQ и BS как x, y и z соответственно. Тогда из «отрезки касательных, проведенных из одной точки равны», следует, что AC = AQ = x, CQ = CS = y, BS = BP = z.
Составим и решим систему.
Найдем отношение площади PSQ к площади АВС через разность площадей SPSQ = SАВС — (SAPQ + SCQS + SBPS).
Аналогично,
и
Тогда из SPSQ = SАВС — (SAPQ + SCQS + SBPS) Ю
Подставим значения
Раскрыв скобки, выражение можно записать как
Длины сторон треугольника всегда положительны, значит используем неравенство Коши: . Аналогично, для трех чисел:
Подставим неравенства в числители дробей
.
Итак, отношение площади треугольника PSQ (по условию — Sk), вершинами которого являются точки касания вписанной окружности, к площади данного треугольника АВС: .
Этап 2: Найдем отношение площади треугольника, вершины которого — основания биссектрис данного треугольника, к площади данного треугольника АВС.
Пусть АН, BG, CF — биссектрисы АВС, тогда FGH — искомый треугольник. Найдем отношение площадей данного треугольника и FGH.
Обозначим AF = x, BH = y, CG = z. По свойству биссектрис («биссектриса делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам»), тогда
Значит,
По аналогии с предыдущей задачей найдем отношение FBH, HCG, FAG к площади ABC.
Аналогично,
и .
Тогда
Упростив это выражение, получаем .
Теперь, из неравенства Коши () Ю.
Итак,отношение площади треугольникаFHG (по условию — Sl), вершины которого — основания биссектрис данного треугольника, к площади треугольника АВС — .
Этап 3: Найдем отношение площади треугольника, образованного основаниями медиан, к данному треугольнику ABC.
Проведем из вершин АВС медианы, пересекающие стороны АВ, ВС и АС соответственно в точках E, R и T.
Рассмотрим AERT.
RT, по свойству средней линии равен половине АЕ и АЕ7 RT.
ER=AT и ER7 AT по этим же признакам Ю AERT — параллелограмм.
Значит Р EAT=Р ERT (*) — по свойству параллелограмма.
Аналогичным образом рассмотрим параллелограммы ERCT, BETR. Из них ЮР RET = Р RCT, Р RBE = Р ETR (**).
Из (*) и (**) ЮERT подобен АВС при (по свойству средней линии). По свойству «площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициентов подобия», .
Итак, отношение площади треугольника (по условию SK), образованного основаниями медиан, к площади данного треугольника АВС — .
Этап 4:докажем, что .
В процессе решения задачи данный этап был разрешен, но найденное решение оказалось крайне не рациональное и очень объемное, поэтому здесь не приведено.
Значит, действительно, площадь треугольника, образованного основаниями медиан больше площади треугольника, образованного основаниями биссектрис, который больше площади треугольника, образованного точками касания вписанной окружности. ЧТД.
Задача 1 Финального тура
Условие: Решить уравнение xy2 + xy + x2 — 2y — 1 = 0 в целых числах.
Решение
Представим исходное уравнение в виде:
Из этого следует, что х — делитель 2у+1. Введем замену: 2у+1 = kx, где kОZ. Тогда
Т.к. ищем решения в целых числах, из этого равенства видно, что k — число нечетное.
Подставим значения в преобразованное уравнение.
Введем замену: х1 = -х. Тогда полученное уравнение примет вид .
Решим данное уравнение относительно х1 (очевидно, что ).
- Рассмотрим случай, когда k = 1. Отсюда, х = 1 или х = = -5, тогда y = 0 или у = -3; Ответ: (1;0), (0;-3);
- Рассмотрим случай, когда k = -1. Отсюда, х = -1 или х = = -3, тогда у = 0 или у = 1; Ответ: (-1;0), (-3;1);
- Рассмотрим случай, когда k = 3. Отсюда у = -14.Ответ: (-9;-14)
- Рассмотрим случай, когда k = -3.
— нет решений в области целых чисел.
Итак, в результате вышеописанных вычислений были найдены следующие решения: (1;0), (0;-3), (-1;0), (-3;1), (-9;-14).
Cумма производных
Условие: Пусть
.
Доказать, что для нечетных — число четное, а для четных — число нечетное.
Решение
Рассмотрим производные P (x):
Далее замечаем, что . Рассмотрим это число:
- n = 2k.4k2(2k-1) — это число четное.
- n = 2k+1.2k*(2k+1)2 — также число четное.
Отсюда следует, что— число четное при любых допустимых значениях n. Значит,
, как сумма четных чисел, число четное.
Введем некоторую функцию F (x).
Рассмотрим возможные случаи для х:
- х — число четное
- х — число нечетное
— число нечетное,
— число четное Ю F (x) — нечетное.
Значит, -нечетное число, ЧТД.
- n — нечетное
— число четное,
— при четном х — четное, значит сумма четна Ю F (x) — четное.
- n — четное
— число нечетное,
— при четном х — четное, значит сумма нечетна Ю F (x) — четное.
Значит, при любом нечетном х, всегда F (x) будет четной при любом (четном/нечетном) значении n Ю
— четное ЧТД
В результате рассмотренных выше случаев, выводим, что для нечетных — число четное, а для четных — число нечетное.
ЧТД.
Необычное уравнение
Условие: Для m натуральных через P (m), обозначается произведение всех цифр его десятичной записи, а через S (m) — их сумма. Найти количество k (n) решений уравнения
при n = 2002. Исследуйте величину k (n) решений уравнения.
Решение
Рассмотрим различные случаи числа x.
Пусть в записи х есть ноль, тогда P (x) = 0, значит
Пусть S (x)=y, S (x) = n и в записи числа есть ноль, тогда
Значит, P (S (x)) = P (y) = 0, т.к. число содержит ноль.
S (S (x))=S (y)=n. Имеется бесконечно много решений.
Т.е. для решения данного уравнения подходят числа, S (S (x)) которых равна n.
Т.к. решений бесконечно много, то имеем множество решений для любых случаев.