Задачи Пятого Турнира Юных Математиков

Настоящий реферат рассматривает решения задач некоторых задач отборочного этапа Пятого Всеукраинского турнира юных математиков (проводившегося г. Сумы). В кратком условии участия было отмечено, что «предлагаемые задачи достаточно сложны и необязательно должны быть решены полностью. Оцениваться будут и отдельные продвижения и разбор частных случаев. В некоторых случаях можно решить аналогичную или более простую задачу». Данный реферат имеет несколько не доведенных до конца задач, либо решенных частично. Также приведены некоторые задач финального тура.

«Геометрические миниатюры»

Условие: Зафиксируем на плоскости АВС и обозначим через SL, SM, SK площади треугольников, вершинами которых есть, соответственно, основания биссектрис, медиан и точек касания вписанной окружности. Доказать, что.

Решение

Решение задачи разобъем на четыре этапа:

    1. Докажем, что
    2. Докажем, что
    3. Докажем, что

  1. Из этапов (2) и (3) ясно, что , поэтому докажем, что

Этап 1: Найдем отношение площади треугольника, вершинами которого являются точки касания вписанной окружности, к площади данного треугольника АВС.

Пусть окружность касается сторон АВ, ВС и АС соответственно в точках P, S и Q. Обозначим отрезки AP, CQ и BS как x, y и z соответственно. Тогда из «отрезки касательных, проведенных из одной точки равны», следует, что AC = AQ = x, CQ = CS = y, BS = BP = z.

Составим и решим систему.

Найдем отношение площади PSQ к площади АВС через разность площадей SPSQ = SАВС — (SAPQ + SCQS + SBPS).

Аналогично,

и

Тогда из SPSQ = SАВС — (SAPQ + SCQS + SBPS) Ю

Подставим значения

Раскрыв скобки, выражение можно записать как

Длины сторон треугольника всегда положительны, значит используем неравенство Коши: . Аналогично, для трех чисел:

Подставим неравенства в числители дробей

.

Итак, отношение площади треугольника PSQ (по условию — Sk), вершинами которого являются точки касания вписанной окружности, к площади данного треугольника АВС: .

Этап 2: Найдем отношение площади треугольника, вершины которого — основания биссектрис данного треугольника, к площади данного треугольника АВС.

Пусть АН, BG, CF — биссектрисы АВС, тогда FGH — искомый треугольник. Найдем отношение площадей данного треугольника и FGH.

Обозначим AF = x, BH = y, CG = z. По свойству биссектрис («биссектриса делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам»), тогда

Значит,

По аналогии с предыдущей задачей найдем отношение FBH, HCG, FAG к площади ABC.

Аналогично,

и .

Тогда

Упростив это выражение, получаем .

Теперь, из неравенства Коши () Ю.

Итак,отношение площади треугольникаFHG (по условию — Sl), вершины которого — основания биссектрис данного треугольника, к площади треугольника АВС — .

Этап 3: Найдем отношение площади треугольника, образованного основаниями медиан, к данному треугольнику ABC.

Проведем из вершин АВС медианы, пересекающие стороны АВ, ВС и АС соответственно в точках E, R и T.

Рассмотрим AERT.

RT, по свойству средней линии равен половине АЕ и АЕ7 RT.

ER=AT и ER7 AT по этим же признакам Ю AERT — параллелограмм.

Значит Р EAT=Р ERT (*) — по свойству параллелограмма.

Аналогичным образом рассмотрим параллелограммы ERCT, BETR. Из них ЮР RET = Р RCT, Р RBE = Р ETR (**).

Из (*) и (**) ЮERT подобен АВС при (по свойству средней линии). По свойству «площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициентов подобия», .

Итак, отношение площади треугольника (по условию SK), образованного основаниями медиан, к площади данного треугольника АВС — .

Этап 4:докажем, что .

В процессе решения задачи данный этап был разрешен, но найденное решение оказалось крайне не рациональное и очень объемное, поэтому здесь не приведено.

Значит, действительно, площадь треугольника, образованного основаниями медиан больше площади треугольника, образованного основаниями биссектрис, который больше площади треугольника, образованного точками касания вписанной окружности. ЧТД.

Задача 1 Финального тура

Условие: Решить уравнение xy2 + xy + x2 — 2y — 1 = 0 в целых числах.

Решение

Представим исходное уравнение в виде:

Из этого следует, что х — делитель 2у+1. Введем замену: 2у+1 = kx, где kОZ. Тогда

Т.к. ищем решения в целых числах, из этого равенства видно, что k — число нечетное.

Подставим значения в преобразованное уравнение.

Введем замену: х1 = -х. Тогда полученное уравнение примет вид .

Решим данное уравнение относительно х1 (очевидно, что ).

  1. Рассмотрим случай, когда k = 1. Отсюда, х = 1 или х = = -5, тогда y = 0 или у = -3; Ответ: (1;0), (0;-3);
  2. Рассмотрим случай, когда k = -1. Отсюда, х = -1 или х = = -3, тогда у = 0 или у = 1; Ответ: (-1;0), (-3;1);
  3. Рассмотрим случай, когда k = 3. Отсюда у = -14.Ответ: (-9;-14)
  4. Рассмотрим случай, когда k = -3.

— нет решений в области целых чисел.

Итак, в результате вышеописанных вычислений были найдены следующие решения: (1;0), (0;-3), (-1;0), (-3;1), (-9;-14).

Cумма производных

Условие: Пусть

.

Доказать, что для нечетных — число четное, а для четных — число нечетное.

Решение

Рассмотрим производные P (x):

Далее замечаем, что . Рассмотрим это число:

  1. n = 2k.4k2(2k-1) — это число четное.
  2. n = 2k+1.2k*(2k+1)2 — также число четное.

Отсюда следует, что— число четное при любых допустимых значениях n. Значит,

, как сумма четных чисел, число четное.

Введем некоторую функцию F (x).

Рассмотрим возможные случаи для х:

  1. х — число четное
  2. — число нечетное,

    — число четное Ю F (x) — нечетное.

    Значит, -нечетное число, ЧТД.

  3. х — число нечетное
  1. n — нечетное

— число четное,

— при четном х — четное, значит сумма четна Ю F (x) — четное.

  1. n — четное

— число нечетное,

— при четном х — четное, значит сумма нечетна Ю F (x) — четное.

Значит, при любом нечетном х, всегда F (x) будет четной при любом (четном/нечетном) значении n Ю

— четное ЧТД

В результате рассмотренных выше случаев, выводим, что для нечетных — число четное, а для четных — число нечетное.

ЧТД.

Необычное уравнение

Условие: Для m натуральных через P (m), обозначается произведение всех цифр его десятичной записи, а через S (m) — их сумма. Найти количество k (n) решений уравнения

при n = 2002. Исследуйте величину k (n) решений уравнения.

Решение

Рассмотрим различные случаи числа x.

Пусть в записи х есть ноль, тогда P (x) = 0, значит

Пусть S (x)=y, S (x) = n и в записи числа есть ноль, тогда

Значит, P (S (x)) = P (y) = 0, т.к. число содержит ноль.

S (S (x))=S (y)=n. Имеется бесконечно много решений.

Т.е. для решения данного уравнения подходят числа, S (S (x)) которых равна n.

Т.к. решений бесконечно много, то имеем множество решений для любых случаев.