Доказательство теорем
*2. Неопределенным интегралом от данной функции f (x) называется множество всех его первообразных , где Fў (x)=f (x).
5.
Свойства неопределенного интеграла:
- Производная НИ =подынтегральной функции; дифференциал от НИ равен подынтегральному выражению: ; . Док-во: ;
- НИ от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого: . Док-во: Обозначим . На основании первого св-ва: , откуда ,
т. е. . - НИ от суммы конечного числа функций равен сумме интегралов от слагаемых функций: , где u, v, …, w-функции независимой переменной х. Док-во:
- Постоянный множитель можно выносить за знак НИ:, где с — константа. Док-во
Т2. (об инвариантности формул интегрирования): Пусть т f (x)dx=F (x)+C — какая-либо известная формула интегрирования и u=ф (х) — любая функция, имеющая непрерывную производную. Тогда т f (u)du=F (u)+C. Док-во: Из того, что т f (x)dx=F (x)+C, следует Fў (x)=f (x). Возьмем функцию F (u)=F[ф (x)]; для её дифференциала, в силу теоремы об инвариантности вида первого дифференциала функции, имеем: dF (u)=Fў (u)du=f (u)du. Отсюда т f (u)du=т dF (u)=f (u)+C.
6.
Метод замены переменных.
1) Подведение под знак дифференциала. Т1. Пусть функция y=f (x) определена и дифференцируема, пусть также существует f (x)=f (j (t)) тогда если функция f (x) имеет первообразную то справедлива формула: -формула замены переменных. Док-во: пусть F (x) для функции f (x),
Замечание1. При интегрировании иногда целесообразно подбирать подстановку не в виде x=j (t), а в виде t=j (x).
2) Подведение под знак дифференциала. F (x)dx=g (j (x)) j ў (x)dx=g (u)du. т f (x)dx=т g (j (x)) j ў (x)dx=т g (u)du.
- dx=d (x+b), где b=const;
- dx=1/ad (ax), a№ 0;
- dx=1/ad (ax+b), a№ 0;
- фў (х)dx=dф (x);
- xdx=½ d (x2+b);
- sinxdx=d (-cosx);
- cosxdx=d (sinx);
Интегрирование по частям: т udv=uv-т vdu. До-во: Пусть u (x) и v (x) — функции от х с непрерывными производными. D (uv)=udv+vdu, Ю udv=d (uv)-vduЮ (интегрируем) т udv=т d (uv)-т vdu или т udv=uv-т vdu.
7.
Интегрирование по частям: т udv=uv-т vdu. До-во: Пусть u (x) и v (x) — функции от х с непрерывными производными. D (uv)=udv+vdu, Ю udv=d (uv)-vduЮ (интегрируем) т udv=т d (uv)-т vdu или т udv=uv-т vdu.
Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен:
Первый интеграл табличного вида: т du/uk:
Второй интеграл сводится к нахождению интеграла: где u=x+p/2, a=, q-p2/4>0
— рекуррентная формула.
Интегрирование рациональных функций: R (x)=P (x)/Q (x), R (x)-рациональная функция, P (x) и Q (x)-многочлены. Дробь P (x)/Q (x) можно разложить в сумму простейших дробей, где Ai, Bi, Ci — постоянные, а именно: каждому множителю (x-a)k в представлении знаменателя Q (x) соответствует в разложении дроби P (x)/Q (x) на слагаемые сумма k простейших дробей типа а каждому множителю (x2+px+q)t соответствует сумма t простейших дробей типа . Таким образом при разложении знаменателя Q (x) на множители имеет место разложение дроби P (x)/Q (x) на слагаемые.
Правила интегрирования рациональных дробей:
- Если рац. дробь неправильная, то её представляют в виде суммы многочлена и неправильной дроби.
- Разлагают знаменатель правильной дроби на множетели.
Правую рац. дробь разлагают на сумму простейших дробей. Этим самым интегрирование правильной рац. дроби сводят к интегрированию простейших дробей.
8.
Интегрирование тригонометрических функций:
- 1 Интеграл вида:
- R (sinx, cosx) — нечетная функция относительно sinx, то cosx=t.
- R (sinx, cosx) — нечетная функция относительно cosx, то sinx=t.
- R (sinx, cosx) — нечетная функция относительно sinx и cosx, то tgx=t.
- 1
- Оба показателя степени m и n — четные положительные числа: sinxcosx=½ sin2x; sin2x=½(1-cos2x); cos2x=½(1+cos2x).
- т tgmxdx и т ctgmxdx, где m-целое положительное число. tg2x=sec2x-1 или ctg2x=cosec2x -1.
- т tgmxsecnxdx и т ctgmxcosecnxdx, где n — четное положительное число. sec2x=1+tg2x или cosec2x=1+ctg2x.
- т sinmx*cosnxdx, т cosmx*cosnxdx, т sinmx*sinnxdx; sinacosb=½(sin (a+b)+sin (a-b)); cosacosb=½(cos (a+b)+cos (a-b)); sinasinb=½(cos (a-b)-cos (a+b));
9.
Интегрирование иррациональных функций:
- 1 т R (x, , ,…)dx, k-общий знаменатель дробей m/n, r/s… x=tk, dx=ktk-1dt
- т R (x, …)dx, , x=, dx=
- 1 Вынести 1/Ц a или 1/Ц -a. И выделим полные квадраты.
- Разбить на два интеграла.
- 1
1)p-целое число x=tS, где s- наименьшее общее кратное знаменателей у дробей m и n. 2) (m+1)/n -целое число: a+bxn=tS; 3) p+(m+1)/n-целое число: a-n+b=tS и где s- знаменатель дроби p.
10.
Определенный интеграл:
- интервал [a, b], в котором задана функция f (x), разбивается на n частичных интервалов при помощи точек a=x0<x1<…<xn-1<xn=b;
- Значение функции f (x I) в какой нибудь точке x iО [xi-xi-1] умножается на длину этого интервала xi-xi-1,
т. е. составляется произведение f (x i)(xi-xi-1);
, где xi-xi-1=D xi;
I=— этот предел (если он существует) называется определенным интегралом, или интегралом от функции f (x) на интервале [a, b], обозначается
*1. Определенным интегралом называется предел интегральной суммы при стремлении к нулю длинны наибольшего частичного интеграла (в предположении, что предел существует).
Т1. (Необходимое условие существования интеграла): Если ОИ существует,