Доказательство теорем

*2. Неопределенным интегралом от данной функции f (x) называется множество всех его первообразных , где Fў (x)=f (x).

5.

Свойства неопределенного интеграла:

  1. Производная НИ =подынтегральной функции; дифференциал от НИ равен подынтегральному выражению: ; . Док-во: ;
  2. НИ от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого: . Док-во: Обозначим . На основании первого св-ва: , откуда , т. е. .
  3. НИ от суммы конечного числа функций равен сумме интегралов от слагаемых функций: , где u, v, …, w-функции независимой переменной х. Док-во:
  4. Постоянный множитель можно выносить за знак НИ:, где с — константа. Док-во

Т2. (об инвариантности формул интегрирования): Пусть т f (x)dx=F (x)+C — какая-либо известная формула интегрирования и u=ф (х) — любая функция, имеющая непрерывную производную. Тогда т f (u)du=F (u)+C. Док-во: Из того, что т f (x)dx=F (x)+C, следует Fў (x)=f (x). Возьмем функцию F (u)=F[ф (x)]; для её дифференциала, в силу теоремы об инвариантности вида первого дифференциала функции, имеем: dF (u)=Fў (u)du=f (u)du. Отсюда т f (u)du=т dF (u)=f (u)+C.

6.

Метод замены переменных.

1) Подведение под знак дифференциала. Т1. Пусть функция y=f (x) определена и дифференцируема, пусть также существует f (x)=f (j (t)) тогда если функция f (x) имеет первообразную то справедлива формула: -формула замены переменных. Док-во: пусть F (x) для функции f (x), т. е. Fў (x)=f (x). Найдем первообразную для f (j (t)), [F (j (t))]ў t=Fў (x)(j (t)) j ў (t)=Fў (x) j ў (t)=f (x) j ў (t). т f (x) j ў (t)dt=f (j (t))+C. F (j (t))+C=[F (x)+C]|x=j (t)=т f (x)dx|x=j (t).

Замечание1. При интегрировании иногда целесообразно подбирать подстановку не в виде x=j (t), а в виде t=j (x).

2) Подведение под знак дифференциала. F (x)dx=g (j (x)) j ў (x)dx=g (u)du. т f (x)dx=т g (j (x)) j ў (x)dx=т g (u)du.

  1. dx=d (x+b), где b=const;
  2. dx=1/ad (ax), a№ 0;
  3. dx=1/ad (ax+b), a№ 0;
  4. фў (х)dx=dф (x);
  5. xdx=½ d (x2+b);
  6. sinxdx=d (-cosx);
  7. cosxdx=d (sinx);

Интегрирование по частям: т udv=uv-т vdu. До-во: Пусть u (x) и v (x) — функции от х с непрерывными производными. D (uv)=udv+vdu, Ю udv=d (uv)-vduЮ (интегрируем) т udv=т d (uv)-т vdu или т udv=uv-т vdu.

7.

Интегрирование по частям: т udv=uv-т vdu. До-во: Пусть u (x) и v (x) — функции от х с непрерывными производными. D (uv)=udv+vdu, Ю udv=d (uv)-vduЮ (интегрируем) т udv=т d (uv)-т vdu или т udv=uv-т vdu.

Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен:

Первый интеграл табличного вида: т du/uk:

Второй интеграл сводится к нахождению интеграла: где u=x+p/2, a=, q-p2/4>0

— рекуррентная формула.

Интегрирование рациональных функций: R (x)=P (x)/Q (x), R (x)-рациональная функция, P (x) и Q (x)-многочлены. Дробь P (x)/Q (x) можно разложить в сумму простейших дробей, где Ai, Bi, Ci — постоянные, а именно: каждому множителю (x-a)k в представлении знаменателя Q (x) соответствует в разложении дроби P (x)/Q (x) на слагаемые сумма k простейших дробей типа а каждому множителю (x2+px+q)t соответствует сумма t простейших дробей типа . Таким образом при разложении знаменателя Q (x) на множители имеет место разложение дроби P (x)/Q (x) на слагаемые.

Правила интегрирования рациональных дробей:

  1. Если рац. дробь неправильная, то её представляют в виде суммы многочлена и неправильной дроби.
  2. Разлагают знаменатель правильной дроби на множетели.

Правую рац. дробь разлагают на сумму простейших дробей. Этим самым интегрирование правильной рац. дроби сводят к интегрированию простейших дробей.

8.

Интегрирование тригонометрических функций:

  1. 1 Интеграл вида:
    1. R (sinx, cosx) — нечетная функция относительно sinx, то cosx=t.
    2. R (sinx, cosx) — нечетная функция относительно cosx, то sinx=t.
    3. R (sinx, cosx) — нечетная функция относительно sinx и cosx, то tgx=t.
  2. 1
    1. Оба показателя степени m и n — четные положительные числа: sinxcosx=½ sin2x; sin2x=½(1-cos2x); cos2x=½(1+cos2x).
  3. т tgmxdx и т ctgmxdx, где m-целое положительное число. tg2x=sec2x-1 или ctg2x=cosec2x -1.
  4. т tgmxsecnxdx и т ctgmxcosecnxdx, где n — четное положительное число. sec2x=1+tg2x или cosec2x=1+ctg2x.
  5. т sinmx*cosnxdx, т cosmx*cosnxdx, т sinmx*sinnxdx; sinacosb=½(sin (a+b)+sin (a-b)); cosacosb=½(cos (a+b)+cos (a-b)); sinasinb=½(cos (a-b)-cos (a+b));

9.

Интегрирование иррациональных функций:

  1. 1 т R (x, , ,…)dx, k-общий знаменатель дробей m/n, r/s… x=tk, dx=ktk-1dt
    1. т R (x, …)dx, , x=, dx=
  2. 1 Вынести 1/Ц a или 1/Ц -a. И выделим полные квадраты.
    1. Разбить на два интеграла.
  3. 1

1)p-целое число x=tS, где s- наименьшее общее кратное знаменателей у дробей m и n. 2) (m+1)/n -целое число: a+bxn=tS; 3) p+(m+1)/n-целое число: a-n+b=tS и где s- знаменатель дроби p.

10.

Определенный интеграл:

  1. интервал [a, b], в котором задана функция f (x), разбивается на n частичных интервалов при помощи точек a=x0<x1<…<xn-1<xn=b;
  2. Значение функции f (x I) в какой нибудь точке x [xi-xi-1] умножается на длину этого интервала xi-xi-1, т. е. составляется произведение f (x i)(xi-xi-1);

, где xi-xi-1=D xi;

I=— этот предел (если он существует) называется определенным интегралом, или интегралом от функции f (x) на интервале [a, b], обозначается

*1. Определенным интегралом называется предел интегральной суммы при стремлении к нулю длинны наибольшего частичного интеграла (в предположении, что предел существует).

Т1. (Необходимое условие существования интеграла): Если ОИ существует, т. е. функция f (x) интегрируема не [a, b], то f (x) ограничена на этом отрезке. Но этого не достаточно. Док-во: Функция Дирихле: