Виды тригонометрических уравнений
Пример 1. 1/(Ö3-tgx) — 1/(Ö3 +tgx) = sin2x
Решение. Область допустимых значений решений этого уравнения
tgx ¹ ± Ö3, х ¹ ± p/8 + pn, nÎZ и х ¹ ± p/2 + pn, nÎZ.
Левую часть уравнения приведем к общему знаменателю, а правую преобразуем с помощью формулы выражения синуса угла через тангенс половинного угла.
(Ö3 + tgx — Ö3 + tgx)/3 — tg2x = 2tgx/ (1 + tg2x); 2tgx / (3 — tg2x) = 2tgx/(1 + tg2x)
x1 = pn, nÎZ
Второе уравнение имеет вид
2tg2x — 2 = 0; tg2x = 1; tgx = ±1; x2 = ± p/4 + pn, nÎZ.
Ответ: x1 = pn, nÎZ; х2 = ± p/4 + pn, nÎZ.
8. Иррациональные тригонометрические уравнения
Если в уравнении тригонометрическая функция находится под знаком радикала, то такое тригонометрическое уравнение будет иррациональным. В таких уравнениях следует соблюдать все правила, которыми пользуются при решении обычных иррациональных уравнений (учитывается область допустимых значений как самого уравнения, так и при освобождении от корня четной степени).
Пример 1. Ö(cos2x + ½) + Ö(sin2x + ½) = 2.
Решение. Уравнение имеет смысл при любом х. Возведем обе части уравнения в квадрат.
cos2x + ½ + 2 Ö((cos2x + ½) (sin2x + ½)) + sin2x + ½ = 4
Ö((cos2x + ½) (sin2x + ½)) = 1; (cos2x + ½) (sin2x + ½) = 1
(½ + ½ cos2x + ½)(½ — ½ cos2x + ½) = 1; (1 + ½ cos2x) (1 — ½ cos2x) = 1;
1 — ¼ cos22x = 1; cos2x=0; x = p/4 + pn/2, nÎz
Ответ: x = p/4 + pn/2, nÎz.
9. Тригонометрические уравнения, в которых под знаком тригонометрической функции находится функция
Особого внимания заслуживают тригонометрические уравнения со сложной зависимостью, когда под знаком тригонометрической функции находится какая-либо другая функция. Эти уравнения требуют дополнительного исследования множества решений.
Пример 1. tg (x2 + 5x) ctg 6=1.
Решение. Запишем уравнение в виде tg (x2+5x)=tg 6. Учитывая, что аргументы равных тангенсов отличаются на свои периоды теп, имеем х2 + 5х = 6 + pn, nÎZ; х2 + 5х — (6+pn) = 0, nÎz;
Д = 25 + 4(6 + pn) = 49 + 4pn, nÎZ; х1,2 = (-5 ±Ö(49 + 4pn))/2, nÎz
Решение имеет смысл, если 49 + 4pn > 0,
Литераура:
«Математика» Р. Л. Вейцман, Л. Р. Вейцман, 2000 г.
(стр. 116 — 125)
«Алгебра начала анализа 10−11» А. Н. Колмогоров,
А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын, Б. М. Ивлев,
С. И. Шварцбурд, 1993 г.
(стр. 62 — 78)