Алгебраические числа
Содержание.
- Введение
- I. Краткий исторический очерк
- II. Поле алгебраических чисел
- 2.1. Понятие числового поля
- 2.2. Алгебраическое число
- 2.3. Поле алгебраических чисел
- III. Рациональные приближения алгебраических чисел
- 3.1 Теорема Лиувиля
- 3.2 Трансцендентные числа Лиувиля
- Заключение
Введение.
Первоначальные элементы математики связаны с появлением навыков счета, возникающих в примитивной форме на сравнительно ранних ступенях развития человеческого общества, в процессе трудовой деятельности.
Исторически теория чисел возникла как непосредственное развитие арифметики. В настоящее время в теорию чисел включают значительно более широкий круг вопросов, выходящих за рамки изучения натуральных чисел. В теории чисел рассматриваются не только натуральные числа, но и множество всех целых чисел, а так же множество рациональных чисел.
Если рассматривать корни многочленов: f (x)=xn+a1xn-1+…+an с целыми коэффициентами, то обычные целые числа соответствуют случаю, когда этот многочлен имеет степень n=1. Во множестве комплексных чисел естественно выделить так называемые целые алгебраические числа, представляющие собой корни многочленов с целыми коэффициентами.
Изучение свойств таких чисел составляет содержание одного из важнейших разделов современной теории чисел, называемого алгебраической теорией чисел. Она связана с изучением различных классов алгебраических чисел.
I. Краткий исторический очерк.
Огромное значение в развитии теории чисел имели замечательные работы К. Гаусса (1777−1855). Гаусс наряду с изучением обычных чисел начал рассматривать так же и арифметику чисел, получивших название целых гауссовских чисел, а именно числа вида a+bi, где a и b — обычные целые числа. Эти его исследования положили начала алгебраической теории чисел.
Теория алгебраических чисел была построена в работах Куммера (1810−1893) и Дирихле (1805−1859) и развита затем Кронекером (1823−1891), Дедекиндом (1831−1916) и Е.И. Золотаревым (1847−1878). Работы Лиувилля (1809−1882) и Эрмита (1822−1901) явились основой трансцендентных чисел.
Вопросы аппроксимации алгебраических чисел рациональными были существенно продвинуты в начале века А. Туэ, а затем в пятидесятых годах в работах К. Рота.
В последнее время все большее внимание специалистов по теории чисел привлекает алгебраическая теория чисел.
Здесь надо назвать работы Г. Хассе, Е. Гекке, а в особенности французского математика А. Вейля, результаты которого были использованы во многих теорико-числовых исследованиях, как например Д. Берджессом в проблеме о наименьшем квадратичном вычете.
К алгебраической теории чисел относятся и интересные работы советского математика И.Р. Шафаревича, а так же работы Б.Н. Делонга по теории кубических форм.
II. Поле алгебраических чисел.
2.1 Понятие числового поля
Естественный и важный подход к выделению и изучению тех или иных множеств чисел связан с замкнутостью множеств чисел относительно тех или иных действий.
Определение 1: Мы говорим, что некоторое множество чисел М замкнуто относительно некоторого действия, если для всяких двух чисел их М, для которых определен результат данного действия над ним, число, является этим результатом, всегда принадлежащим М.
Пример:
- N Множество натуральных чисел замкнуто относительно сложения, т.к. «a, bО N => (a+b) О N.
- Множество целых чисел Z замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения.
- Множество чисел вида 2к, кО N, замкнуто относительно умножения и деления.
В отношении умножения множество N так же замкнуто. Но оно не является замкнутым относительно вычитания и деления. Действительно:
5, 7 О N, но 5−7=-2 П N,
3, 2О N, но 3:2=1,5 П N
2к* 2l=2k+l
2к:2l=2k-l
В связи с замкнутостью действий на множестве выделились классы числовых множеств.
Рассмотрим один их классов, называемых полем.
Определение 2: Множество чисел М, содержащие не менее двух чисел, называется числовым полем, если оно замкнуто относительно действий сложения, вычитания, умножения и деления.
Последнее означает, что для любых a, b О M, должно иметь место a+b, a-b, a*b О M. Так же для любого aО M и любого b№ 0 из М, должно выполняться a: bО M.
Пример:
Среди важнейших числовых полей наиболее важными являются:
- поле всех рациональных чисел;
- поле всех вещественных чисел;
- поле всех комплексных чисел.
Что касается множества всех целых чисел, то оно не является числовым полем, ибо не замкнуто относительно деления.
Существует бесконечно много числовых полей. Нас, в данном случае интересует поле алгебраических чисел.
2.2 Определение алгебраического числа.
Существуют различные признаки, по которым их общего множества Z выделяю те или иные подмножества, подвергаемые специальному изучению. С точки зрения важного для алгебры понятия алгебраического уравнения, естественным представляется выделение классов чисел, являющихся корнями алгебраических уравнений, коэффициенты которых принадлежат тому или иному классу чисел.
Определение 3: Число Z называется алгебраическим, если оно является корнем какого-нибудь алгебраического уравнения с целыми коэффициентами:
anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0
(a0, a1, …, anОZ; an№0),
т.е. выполняется:
anzn+an-1zn-1+…+a1z+a0=0
Числа не являющиеся алгебраическими называются трансцендентными.
В определении алгебраического числа можно допустить, чтобы коэффициенты a0, a1, …, an-1, an были любыми рациональными числами, поскольку, умножив левую и правую части уравнения на целое число, являющиеся общим кратным знаменателем всех коэффициентов, мы получили уравнение с целыми коэффициентами, корнем которого будет наше число.
К алгебраическим числам принадлежат, в частности, и все рациональные числа. Действительно, рациональное число z (p, qО N) очевидно является корнем уравнения: qx-p=0.
Также всякое значение корня любой степени из рационального числа является алгебраическим числом. Действительно, число z (p, qО N) является корнем уравнения:
qxn-p=0.
Существуют и другие алгебраические числа, нежели указанное выше.
Пример:
- Чиcло z является алгебраическим. Действительно, возводя в квадрат обе части равенства, определяющего число z, получим: z2=2+2+3. Отсюда z2-5=. Возводя в квадрат обе части этого равенства, получим: z4-10z2+25=24. Отсюда следует, что число z является корнем следующего уравнения:
- Всякое число z=a+bi, у которого компоненты a и b — рациональные числа, являются алгебраическими. Докажем это.
x4-10x2+1=0
, (p, q, О N).
Из равенства, получаем:. Отсюда, возводя в квадрат, получим: . Следовательно, я является корнем уравнения:
все коэффициенты которого целые числа.
В дальнейшем мы будем рассматривать только действительные алгебраические числа, не оговаривая этого каждый раз.
Из f (x)=0 следует f (z)j (x)=0, где в качестве j (x) можно взять любой многочлен с целыми коэффициентами. Таким образом для любого алгебраического числа z, из всех этих многочленов обычно рассматривают многочлен наименьшей степени.
Определение 4: Число n называется степенью алгебраического числа z, если z есть корень некоторого многочлена n-ой степени с рациональными коэффициентами и не существует тождественно не равного нулю многочлена с рациональными коэффициентами степени, меньшей чем n, корнем которого является z.
Если корень многочлена n-ой степени с целыми рациональными коэффициентами z не является корнем ни одного тождественно неравного нулю многочлена с целыми коэффициентами степени меньшей чем n, то z не может быть корнем и тождественно неравного нулю многочлена с рациональными коэффициентами степени меньшей чем n,
Рациональные числа являются алгебраическими числами первой степени. Любая квадратическая иррациональность представляет собой алгебраическое число 2-й степени, так как, являясь корнем квадратичного уравнения с целыми коэффициентами, она не является корнем какого-либо уравнения 1-й степени с целыми коэффициентами. Алгебраические числа 3-й степени часто называют кубическими иррациональностями, а 4-й степени биквадратическими иррациональностями.
Пример:
- — алгебраическое число 3-й степени,
т. е. кубическая иррациональность. Действительно, это число есть корень многочлена 3-й степени с целыми коэффициентами x3-2=0 и
не является корнем какого-либо многочлена 1-й или 2-й степени с целыми коэффициентами.
Определение 5: Если алгебраическое число n-й степени z является корнем многочлена f (x)=xn+b1xn-1+ … +bn (nі 1) (1) с рациональными коэффициентами, то f (x) называется минимальным многочленом для z.
Таким образом, минимальным многочленом для z называется многочлен наименьшей степени с рациональными коэффициентами и старшим коэффициентом, равном единице, корнем которого является z.