Содержание.

1. Введение
2. I. Краткий исторический очерк
3. II. Поле алгебраических чисел
4. 2.1. Понятие числового поля
5. 2.2. Алгебраическое число
6. 2.3. Поле алгебраических чисел
7. III. Рациональные приближения алгебраических чисел
8. 3.1 Теорема Лиувиля
9. 3.2 Трансцендентные числа Лиувиля
10. Заключение

Первоначальные элементы математики связаны с появлением навыков счета, возникающих в примитивной форме на сравнительно ранних ступенях развития человеческого общества, в процессе трудовой деятельности.

Исторически теория чисел возникла как непосредственное развитие арифметики. В настоящее время в теорию чисел включают значительно более широкий круг вопросов, выходящих за рамки изучения натуральных чисел. В теории чисел рассматриваются не только натуральные числа, но и множество всех целых чисел, а так же множество рациональных чисел.

Если рассматривать корни многочленов: f (x)=xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n с целыми коэффициентами, то обычные целые числа соответствуют случаю, когда этот многочлен имеет степень n=1. Во множестве комплексных чисел естественно выделить так называемые целые алгебраические числа, представляющие собой корни многочленов с целыми коэффициентами.

Изучение свойств таких чисел составляет содержание одного из важнейших разделов современной теории чисел, называемого алгебраической теорией чисел. Она связана с изучением различных классов алгебраических чисел.

Огромное значение в развитии теории чисел имели замечательные работы К. Гаусса (1777−1855). Гаусс наряду с изучением обычных чисел начал рассматривать так же и арифметику чисел, получивших название целых гауссовских чисел, а именно числа вида a+bi, где a и b — обычные целые числа. Эти его исследования положили начала алгебраической теории чисел.

Теория алгебраических чисел была построена в работах Куммера (1810−1893) и Дирихле (1805−1859) и развита затем Кронекером (1823−1891), Дедекиндом (1831−1916) и Е.И. Золотаревым (1847−1878). Работы Лиувилля (1809−1882) и Эрмита (1822−1901) явились основой трансцендентных чисел.

Вопросы аппроксимации алгебраических чисел рациональными были существенно продвинуты в начале века А. Туэ, а затем в пятидесятых годах в работах К. Рота.

В последнее время все большее внимание специалистов по теории чисел привлекает алгебраическая теория чисел.

Здесь надо назвать работы Г. Хассе, Е. Гекке, а в особенности французского математика А. Вейля, результаты которого были использованы во многих теорико-числовых исследованиях, как например Д. Берджессом в проблеме о наименьшем квадратичном вычете.

К алгебраической теории чисел относятся и интересные работы советского математика И.Р. Шафаревича, а так же работы Б.Н. Делонга по теории кубических форм.

2.1 Понятие числового поля

Естественный и важный подход к выделению и изучению тех или иных множеств чисел связан с замкнутостью множеств чисел относительно тех или иных действий.

Определение 1: Мы говорим, что некоторое множество чисел М замкнуто относительно некоторого действия, если для всяких двух чисел их М, для которых определен результат данного действия над ним, число, является этим результатом, всегда принадлежащим М.

1. N Множество натуральных чисел замкнуто относительно сложения, т.к. «a, bО N => (a+b) О N.

В отношении умножения множество N так же замкнуто. Но оно не является замкнутым относительно вычитания и деления. Действительно:

5, 7 О N, но 5−7=-2 П N,

3, 2О N, но 3:2=1,5 П N

2. Множество целых чисел Z замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения.
3. Множество чисел вида 2^к, кО N, замкнуто относительно умножения и деления.

2к* 2l=2k+l

2к:2l=2k-l

В связи с замкнутостью действий на множестве выделились классы числовых множеств.

Рассмотрим один их классов, называемых полем.

Определение 2: Множество чисел М, содержащие не менее двух чисел, называется числовым полем, если оно замкнуто относительно действий сложения, вычитания, умножения и деления.

Последнее означает, что для любых a, b О M, должно иметь место a+b, a-b, a*b О M. Так же для любого aО M и любого b№ 0 из М, должно выполняться a: bО M.

Среди важнейших числовых полей наиболее важными являются:

1. поле всех рациональных чисел;
2. поле всех вещественных чисел;
3. поле всех комплексных чисел.

Что касается множества всех целых чисел, то оно не является числовым полем, ибо не замкнуто относительно деления.

Существует бесконечно много числовых полей. Нас, в данном случае интересует поле алгебраических чисел.

2.2 Определение алгебраического числа.

Существуют различные признаки, по которым их общего множества Z выделяю те или иные подмножества, подвергаемые специальному изучению. С точки зрения важного для алгебры понятия алгебраического уравнения, естественным представляется выделение классов чисел, являющихся корнями алгебраических уравнений, коэффициенты которых принадлежат тому или иному классу чисел.

Определение 3: Число Z называется алгебраическим, если оно является корнем какого-нибудь алгебраического уравнения с целыми коэффициентами:

a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀=0

(a₀, a₁, …, a_nОZ; a_n№0),

т.е. выполняется:

a_nzⁿ+a_n-1z^n-1+…+a₁z+a₀=0

Числа не являющиеся алгебраическими называются трансцендентными.

В определении алгебраического числа можно допустить, чтобы коэффициенты a₀, a₁, …, a_n-1, a_n были любыми рациональными числами, поскольку, умножив левую и правую части уравнения на целое число, являющиеся общим кратным знаменателем всех коэффициентов, мы получили уравнение с целыми коэффициентами, корнем которого будет наше число.

К алгебраическим числам принадлежат, в частности, и все рациональные числа. Действительно, рациональное число z (p, qО N) очевидно является корнем уравнения: qx-p=0.

Также всякое значение корня любой степени из рационального числа является алгебраическим числом. Действительно, число z (p, qО N) является корнем уравнения:

qxⁿ-p=0.

Существуют и другие алгебраические числа, нежели указанное выше.

1. Чиcло z является алгебраическим. Действительно, возводя в квадрат обе части равенства, определяющего число z, получим: z²=2+2+3. Отсюда z²-5=. Возводя в квадрат обе части этого равенства, получим: z⁴-10z²+25=24. Отсюда следует, что число z является корнем следующего уравнения:

x⁴-10x²+1=0

2. Всякое число z=a+bi, у которого компоненты a и b — рациональные числа, являются алгебраическими. Докажем это.

, (p, q, О N).

Из равенства, получаем:. Отсюда, возводя в квадрат, получим: . Следовательно, я является корнем уравнения:

все коэффициенты которого целые числа.

В дальнейшем мы будем рассматривать только действительные алгебраические числа, не оговаривая этого каждый раз.

Из f (x)=0 следует f (z)j (x)=0, где в качестве j (x) можно взять любой многочлен с целыми коэффициентами. Таким образом для любого алгебраического числа z, из всех этих многочленов обычно рассматривают многочлен наименьшей степени.

Определение 4: Число n называется степенью алгебраического числа z, если z есть корень некоторого многочлена n-ой степени с рациональными коэффициентами и не существует тождественно не равного нулю многочлена с рациональными коэффициентами степени, меньшей чем n, корнем которого является z.

Если корень многочлена n-ой степени с целыми рациональными коэффициентами z не является корнем ни одного тождественно неравного нулю многочлена с целыми коэффициентами степени меньшей чем n, то z не может быть корнем и тождественно неравного нулю многочлена с рациональными коэффициентами степени меньшей чем n, т. е. z — алгебраическое число степени n.

Рациональные числа являются алгебраическими числами первой степени. Любая квадратическая иррациональность представляет собой алгебраическое число 2-й степени, так как, являясь корнем квадратичного уравнения с целыми коэффициентами, она не является корнем какого-либо уравнения 1-й степени с целыми коэффициентами. Алгебраические числа 3-й степени часто называют кубическими иррациональностями, а 4-й степени биквадратическими иррациональностями.

1. — алгебраическое число 3-й степени, т. е. кубическая иррациональность. Действительно, это число есть корень многочлена 3-й степени с целыми коэффициентами x³-2=0 и

не является корнем какого-либо многочлена 1-й или 2-й степени с целыми коэффициентами.

Определение 5: Если алгебраическое число n-й степени z является корнем многочлена f (x)=xⁿ+b₁x^n-1+ … +b_n (nі 1) (1) с рациональными коэффициентами, то f (x) называется минимальным многочленом для z.

Таким образом, минимальным многочленом для z называется многочлен наименьшей степени с рациональными коэффициентами и старшим коэффициентом, равном единице, корнем которого является z.