ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Введение

2. Постановка задачи

3. Теоретическая основа решения задачи

4. Методологический подход

5. Алгоритм программы для перевода из одной системы исчисления в другую

6. Текст программы с комментариями

7. Подробные разъяснения по программе

8. Как пользоваться программой

ВВЕДЕНИЕ

Проблема перевода из одной системы исчисления в другую очень часто встречается при программировании. Особенно часто появляется такая проблема при программировании на Ассемблере. Например, при определении адреса ячейки памяти, для получения двоичного или шестнадцатеричного эквивалентов десятеричного числа. Иногда встает проблема увеличения скорости вычислений, и тогда приходит на помощь двоичная система исчисления. В этой системе исчисления очень быстро производить операцию умножения путем сдвига одного из операндов в двоичном виде влево на такое число позиций, в которой стоит единица во втором операнде.

Рассмотрим подробнее, как это осуществляется. Пусть нам надо умножить число 1101 на 101 (оба числа в двоичной системе исчисления). Машина делает это следующим образом: она берет число 1101, и если первый элемент второго множителя равен 1 то она заносит его в сумму.

Затем сдвигает число 1101 влево на одну позицию, получая тем самым 11 010 и если второй элемент второго множителя равен единице, то тоже заносит его в сумму. Если элемент второго множителя равен нулю, то сумма не изменяется. В связи с этим, если второй множитель содержит много нулей, то операция умножения выполняется довольно долго, т.к. машина проверяет каждую цифру второго множителя, в том числе и нули. Если же самому делать операцию умножения, то нули можно пропустить и тогда умножение сделается быстрее.

Что касается применения шестнадцатеричной системы исчисления то здесь тоже большие возможности. Во-первых, некоторые стандартные процедуры Паскаля и Си требуют задачи параметров в шестнадцатеричной системе, а во-вторых, такая система исчисления очень удобна для хранения информации, т.к. число в шестнадцатеричном виде занимает меньше объема диска, чем тоже число в десятеричном, а тем более в двоичном виде.

Таким образом, мы убедились, что проблема перевода из двоичной системы исчисления в десятеричную, из шестнадцатеричной в десятеричную и обратно очень актуальна.

II. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Из введения стало понятно, что наиболее часто встречающиеся системы исчисления это двоичная, шестнадцатеричная и десятеричная. Иногда встречается и восьмеричная система исчисления, но это бывает так редко, что не стоит на этом останавливаться. Итак, наша задача осуществить перевод из двоичной системы исчисления в десятеричную и шестнадцатеричную, из десятеричной в двоичную и шестнадцатеричную и из шестнадцатеричной в двоичную и десятеричную, т. е. взаимно связать все эти три системы исчисления.

III. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ОСНОВА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

Как же на практике осуществляется перевод из одной системы исчисления в другую? Попробуем разобраться.

Допустим, нам нужно перевести число 567 десятеричной системы в двоичную систему. Делается это следующим образом: отыскивается максимальная степень двойки, чтобы два в этой степени было меньше или равно исходному числу. В нашем случае это 9, т.к. 2⁹=512, а 2¹⁰=1024, что больше нашего начального числа. Таким образом, мы получили число разрядов результата. Оно равно 9+1=10.

Значит, результат будет иметь вид 1ххххххххх, где вместо х может стоять 1 или 0. Найдем вторую цифру результата.

Возведем двойку в степень 9 и вычтем из исходного числа: 567−2⁹=55. Затем сравниваем с числом 2⁸=256.

Так как 55 меньше 256 то девятый разряд будет нулем, т. е. результат уже примет вид 10хххххххх. Рассмотрим восьмой разряд: 2⁷=128 > 55, значит, и восьмой разряд будет нулем. Т. к. 2⁶=64 то седьмой разряд равен нулю.

Таким образом, мы получили четыре старших разряда и число примет вид 1000хххххх. Вычисляем 2⁵=32 и видим, что 32 < 55, значит шестой разряд равен 1 (результат 10 001ххххх), остаток 55−32=23.2⁴=16 < 23 — пятый разряд 1 => 100 011хххх. Остаток 23−16=7.2³=8 > 7 => 1 000 110ххх. 2²=4 < 7 => 10 001 101хх, остаток 3.2¹=2 < 3 => 100 011 011х, остаток 1.2⁰=1 = 1 => 1 000 110 111. Мы получили конечный результат.

Теперь попробуем перевести тоже число 567, но уже в шестнадцатеричную систему. Подход примерно такой же.

Определим максимальный разряд. Т. к. 16²=256 < 567, а 16³=4096 > 567, то максимальный разряд 2+1=3. Определим число, которое будет стоять в третьем разряде.

Ищется максимальный множитель в пределах от 1 до 15, чтобы текущая степень шестнадцати умноженная на этот множитель была меньше или равнялась исходному числу (а в дальнейшем — остатку). В нашем примере этот множитель 2, т.к. 256*2=512 < 567, а 256*3=768 > 567. Значит, старший разряд нашего результата будет равен 22 0, и результат примет вид 2хх, где вместо х могут стоять любые цифры или буквы из ниже перечисленных: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, B, C, D, E, F. Вычисляем остаток: 567−2*16²=55. Определим, что будет стоять во втором разряде. Так как 3*16¹=48 < 55, а 4*16¹=64 > 55, то во втором разряде будет стоять цифра 23 0. Остаток=55−3*16¹=7. Определяем первый разряд: т.к. 16⁰=1 то цифра первого разряда равна остатку, т. е. 27 0. Таким образом, мы получили число 2237 0, но уже в шестнадцатеричной системе исчисления.

Операция перевода из десятеричной системы выглядит гораздо проще. Рассмотрим ее на примере перевода из шестнадцатеричной системы в десятеричную.