Контрольная по статистике

Задача № 1

Имеются следующие выборочные данные (выборка 10% - тная, механическая) о выпуске продукции и сумме прибыли, млн. руб:

предприятия

Выпуск продукции

Прибыль

№ предприятия

Выпуск продукции

Прибыль

1

65

15.7

16

52

14,6

2

78

18

17

62

14,8

3

41

12.1

18

69

16,1

4

54

13.8

19

85

16,7

5

66

15.5

20

70

15,8

6

80

17.9

21

71

16,4

7

45

12.8

22

64

15

8

57

14.2

23

72

16,5

9

67

15.9

24

88

18,5

10

81

17.6

25

73

16,4

11

92

18.2

26

74

16

12

48

13

27

96

19,1

13

59

16.5

28

75

16,3

14

68

16.2

29

101

19,6

15

83

16.7

30

76

17,2

По исходным данным:

    1. Постройте статистический ряд распределения предприятий по сумме прибыли, образовав пять групп с равными интервалами. Постройте график ряда распределения.
    2. Рассчитайте характеристики ряда распределения предприятий по сумме прибыли: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, дисперсию, коэффициент вариации.
    3. С вероятностью 0,954 определите ошибку выборки для средней суммы прибыли на одно предприятие и границы, в которых будет находиться средняя сумма прибыли одного предприятия в генеральной совокупности.
    4. С вероятностью 0,954 определите ошибку выборки для доли предприятий со средней прибылью свыше 16,6 млн руб. и границы, в которых будет находиться генеральная доля.

Решение:

1. Сначала определяем длину интервала по формуле:

е= (хmax — xmin) /k,

где k — число выделенных интервалов.

е= (19,6 — 12,1) /5=1,5млн. руб.

12,1−13,6; 13,6−15,1; 15,1−16,6; 16,6−18,1; 18,1−19,6.

Распределение предприятий по сумме прибыли.

№ группы

Группировка предприятий по сумме прибыли

№ предприятия

Прибыль

I

12,1−13,6

3

12,1

7

12,8

12

13

II

13,6−15,1

4

13,8

8

14,2

16

14,6

17

14,8

22

15

III

15,1−16,6

1

15,7

5

15,5

9

15,9

13

16,5

14

16,2

18

16,1

20

15,8

21

16,4

23

16,5

25

16,4

26

16

28

16,3

IV

16,6−18,1

2

18

6

17,9

10

17,6

15

16,7

19

16,7

30

17,2

V

18,1 -19,6

11

18,2

24

18,5

27

19,1

29

19,6

Рассчитываем характеристику ряда распределения предприятий по сумме прибыли, для этого составим расчетную таблицу:

Группы предприятий по сумме прибыли; млн. руб

Число предприятий

f

Середина интервала

Х

xf

X2f

12,1 — 13,6

3

12,9

38,7

499,23

13,6 — 15,1

5

14,4

72

1036,8

15,1 — 16,6

12

15,9

190,8

3033,72

16,6 — 18,1

6

17,4

104,4

1816,56

18,1 — 19,6

4

18,9

75,6

1428,84

е

30

------

481,5

7815,15

Средняя арифметическая: = е= 472; xf / е= 472; f получаем: = 481,5: 30 = 16,05 млн руб.

Среднее квадратическое отклонение: получаем: Определяем среднее квадратическое отклонение для определения коэффициента вариации) Коэффициент вариации: uх = (dх* 100%) / x получаем: uх =1,7 * 100%: 16,05 = 10,5% так как uх = 10,5% < 33% то можно сделать вывод, что совокупность однородная, а средняя величина типичная ее характеристика.

Определяем ошибку выборки (выборка механическая) для средней суммы прибыли на одно предприятие по следующей формуле: если Р=0,954 то t=2 ошибка выборки для средней суммы прибыли на одно предприятие Dх = 0,6 Средняя сумма прибыли будет находиться в границах которые мы находим по формуле: получаем: 15,45Ј X Ј16,65 С вероятностью 0,954 можно утверждать, что средняя сумма прибыли одного предприятия заключается в пределах: Доля предприятий со средней прибылью свыше 16,6 млн руб. находится в пределах:

Выборочная доля составит: Ошибку выборки определяем по формуле, где N — объем генеральной совокупности.

Также объем генеральной совокупности можно определить из условия задачи, так как выборка 10% -тная и в выборку вошло 30 предприятий: 30 предприятий — 10% Х — 100% 10х=3000 х=300 предприятий, следовательно N=300 подставляем данные в формулу: Следовательно с вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля предприятий со средней прибылью > 16,6 млн. руб будет находиться в следующих пределах: 33% ± 16,3% или 16,7 Ј w Ј 49,3%

Задача № 2

по данным задачи № 1

  1. Методом аналитической группировки установите наличие и характер корреляционной связи между стоимостью произведенной продукции и суммой прибыли на одно предприятие. (результаты оформите рабочей и аналитической таблицами.)
  2. Измерьте тесноту корреляционной связи между стоимостью произведенной продукции и суммой прибыли эмпирическим корреляционным отношением.

Сделайте выводы.

Решение:

  1. Поскольку прибыль предприятия напрямую зависит от объема производимой продукции, то мы обозначим выпуск продукции независимой переменной Х, тогда прибыль зависимой переменной У. Поскольку в каждом отдельном случае рассматривается одно предприятие, а на прибыль предприятия, кроме выпуска продукции, может влиять множество факторов в том числе и неучтенных, следовательно можно определенно сказать что связь в данном случае корреляционная. Ее можно выявить при помощи аналитической группировки. Для этого сгруппируем предприятия по выпуску продукции, интервал высчитываем по формуле:
  2. Где К — число выделенных интервалов.

    Получаем: В итоге у нас получаются следующие интервалы: 41 — 53; 53 — 65; 65 — 77; 77 — 89; 89 — 101 Строим рабочую таблицу.

    № группы

    Группировка предприятий по объему продукции, млн. руб.

    № предприятия

    Выпуск продукции

    млн. руб

    Х

    Прибыль млн. руб.

    У

    У2

    I

    41−53

    3

    41

    12,1

    146,41

    7

    45

    12,8

    163,84

    12

    48

    13

    169

    16

    52

    14,6

    213,16

    S

    4

    186

    52,5

    692,41

    В среднем на 1 предприятие

    46,5

    13,1

    II

    53−65

    1

    65

    15.7

    264.49

    4

    54

    13.8

    190,44

    8

    57

    14.2

    201,64

    13

    59

    16.5

    272,25

    17

    62

    14.8

    219,04

    22

    64

    15

    225

    S

    6

    361

    90

    1372,86

    В среднем на 1 предприятие

    60,1

    15

    III

    65−77

    5

    66

    15,5

    240,25

    9

    67

    15,9

    252,81

    14

    68

    16,2

    262,44

    18

    69

    16,1

    259,21

    20

    70

    15,8

    249,64

    21

    71

    16,4

    268,96

    23

    72

    16,5

    272,25

    25

    73

    16,4

    268,96

    26

    74

    16

    256

    28

    75

    16,3

    265,69

    30

    76

    17,2

    295,84

    S

    11

    781

    178,3

    2892,05

    В среднем на 1 предприятие

    71

    16,2

    IV

    77−89

    2

    78

    18

    324

    6

    80

    17,9

    320,41

    10

    81

    17,6

    309,76

    15

    83

    16,7

    278,89

    19

    85

    16,7

    278,89

    24

    88

    18,5

    342,25

    S

    6

    495

    105,4

    1854,2

    В среднем на 1 предприятие

    82,5

    17,6

    V

    89−101

    11

    92

    18,2

    331,24

    27

    96

    19,1

    364,81

    29

    101

    19,6

    384,16

    S

    3

    289

    56,9

    1080,21

    В среднем на 1 предприятие

    96,3

    18,9

    S

    ИТОГО

    2112

    483,1

    В среднем

    71,28

    16,16

    Теперь по данным рабочей таблицы строим итоговую аналитическую таблицу:

    Группы предприятий по объему продукции, млн. руб

    Число пр-тий

    Выпуск продукции, млн. руб.

    Прибыль, млн. руб

    Всего

    В среднем на одно пр-тие

    Всего

    В среднем на одно пр-тие

    41−53

    4

    186

    46,5

    52,5

    13,1

    53−65

    6

    361

    60,1

    90

    15

    65−77

    11

    781

    71

    178,3

    16,2

    77,89

    6

    495

    82,5

    105,4

    17,6

    89−101

    3

    289

    96,3

    56,9

    18,9

    S

    30

    2112

    356,4

    483,1

    80,8

    По данным аналитической таблицы мы видим, что с приростом объема продукции, средняя прибыль на одно предприятие возрастает. Значит, между исследуемыми признаками существует прямая корреляционная зависимость.

  3. Строим расчетную таблицу:

Группы предприятий по объему продукции, млн. руб

Число пр-тий

fk

Прибыль, млн. руб

k-у) 2 fk

у2

Всего

В среднем на одно пр-тие

Yk

41−53

4

52,5

13,1

36

692,41

53−65

6

90

15

7,3

1372,86

65−77

11

178,3

16,2

0,11

2892,05

77,89

6

105,4

17,6

13,5

1854,2

89−101

3

56,9

18,9

23,5

1080,21

S

30

483,1

80,8

80,41

7891,73

Вычисляем коэффициент детерминации по формуле:

Где — межгрупповая дисперсия находящаяся по формуле:

  • общая дисперсия результативного признака, находится по формуле:

Теперь находим Для каждой группы предприятий рассчитаем значение и вносим в таблицу.

Находим межгрупповую дисперсию: Для нахождения общей дисперсии, нужно рассчитать: где p — количество предприятий и получаем: Рассчитываем общую дисперсию: получаем: Вычисляем коэффициент детерминации: получаем, или 70,3% Следовательно, на 70,3% вариация прибыли предприятия зависит от вариации выпуска продукции и на 29,7% зависит от неучтенных факторов.

Эмпирическое корреляционное отношение составляет: Это говорит о том, что корреляционная связь играет существенную роль между стоимостью произведенной продукции и суммой прибыли.

Задача № 3

Динамика капитальных вложений характеризуется следующими данными, в сопоставимых ценах, млрд. руб.:

Год.

Показатель.

1-й

2-й

3-й

4-й

5-й

Капитальные вложения всего:

В том числе

136,95

112,05

84,66

74,7

62,3

производственного назначения

97,35

79,65

60,18

53,10

41,40

непроизводственного назначения

39,6

32,4

24,48

21,6

20,9

Для изучения интенсивности изменения объема капитальных вложений вычислите:

  1. Абсолютные приросты, темпы роста и прироста (цепные и базисные) общего объема капитальных вложений. Результаты представьте в таблице.
  2. Для общего объема капитальных вложений, в том числе производственного и непроизводственного назначения:
  3. а) средний уровень ряда динамики; б) среднегодовой темп роста и прироста.

  4. Осуществите прогноз капитальных вложений на ближайший год с помощью среднего абсолютного прироста и среднего темпа роста.
  5. Определите основную тенденцию развития общего объема капитальных вложений методом аналитического выравнивания, осуществите прогноз на ближайший год.
  6. Изобразите динамику капитальных вложений на графике. Сделайте выводы.

Решение:

Поскольку в данном нам динамическом ряду каждый уровень характеризует явление за определенный отрезок времени, то этот ряд будет интервальным.

  1. Для расчета абсолютного прироста цепной используем формулу:
  2. Для расчета базисного прироста используем формулу: Для расчета темпа роста цепной используем формулу: Для расчета темпа роста базисной используем формулу: Для расчета темпа прироста цепной используем формулу: Для расчета темпа прироста базисной используем формулу: Теперь представим в таблице выше рассчитанные показатели: Абсолютные приросты, темпы роста и прироста (цепные и базисные) общего объема капитальных вложений.

    Показатели

    Год

    ц

    млрд. руб

    б

    млрд. руб

    Тц

    млрд. руб

    Тб

    млрд. руб

    ц

    %

    б

    %

    1-й

    -----

    -----

    -----

    1

    -----

    -----

    2-й

    -24,9

    -24,9

    0,81

    0,81

    -19%

    -19%

    3-й

    -27,39

    -52,29

    0,75

    0,62

    -25%

    -38%

    4-й

    -9,96

    -62,25

    0,88

    0,54

    -12%

    -46%

    5-й

    -12,4

    -74,65

    0,83

    0,45

    -17%

    -55%

    По данным таблицы можно сделать вывод, что общий объем капитальных вложений имеет тенденцию к снижению.

  3. а) Поскольку ряд динамический и интервальный, то для расчета среднего уровня ряда динамики мы будем использовать следующую формулу:
  4. Для общего объема капитальных вложений: Производственного назначения: Непроизводственного назначения: б) Рассчитываем среднегодовые темп роста и темп прироста по формулам: Среднегодовой темп роста: для общего объема капитальных вложений: производственного назначения: непроизводственного назначения: Среднегодовой темп прироста: для общего объема капитальных вложений: (следовательно в среднем общий объем капитальных вложений за 5 лет снизился на 18%.) производственного назначения: (следовательно в среднем объем капитальных вложений производственного назначения снизился на 20%) непроизводственного назначения: (следовательно в среднем объем капитальных вложений непроизводственного назначения снизился на 15%)

  5. Для расчета прогноза капитальных вложений с помощью среднего абсолютного прироста и среднего темпа роста мы будем использовать следующие формулы:

Подставив соответствующие значения получим: Следовательно в ближайший год в среднем общий объем капитальных вложений сократится на 18,66 млрд руб. и составит сумму от43,6 млрд руб. до 51 млрд руб.

4. А теперь мы при помощи метода аналитического выравнивания заменим эмпирический динамический ряд условным теоретическим динамическим рядом, так как он наиболее подходяще выглядит к формулам на основе прямой.

Показатель теоретического ряда рассчитывается при помощи метода наименьших квадратов.

Показатели

1-й

2-й

3-й

4-й

5-й

е

Кап. вложения

136,95

112,05

84,66

74,7

62,3

470,66

t

-2

-1

0

1

2

0

y*t

-273,9

-112,05

0

74,7

124,6

-186,65

t2

4

1

0

1

4

10

Уравнение прямой имеет вид: y (t) =a+bt, а = 470,66: 5 = 94,1 b = -186,65: 10 = -18,7

уравнение имеет вид: y (t) = 94,1 — 18,7 t

По данным графика можно сделать вывод, что общий объем капиталовложений имеет тенденцию к снижению.

Расчет прогноза проведен с помощью следующих этапов:

  • значение верхней границы подсчитан по формуле среднего темпа роста.
  • значение нижней границы выявлено следующим образом: в уравнение прямой y (t) = 94,1 — 18,7t подставили значение t =3 потому что прогноз выполнялся на год вперед, значит tусл= 3
  • прогнозируемое значение рассчитали по формуле среднего абсолютного прироста.

Задача № 4

Имеются следующие данные по двум предприятиям отрасли:

Предприятие

Реализовано продукции

тыс. руб.

Среднесписочная численность рабочих, чел.

1 квартал

2 квартал

1 квартал

2 квартал

I

540

544

100

80

II

450

672

100

120

Определите:

  1. Уровни и динамику производительности труда рабочих каждого предприятия.
  2. Для двух предприятий вместе:

индекс производительности труда переменного состава; индекс производительности труда фиксированного состава; индекс влияния структурных изменений в численности рабочих на динамику средней производительности труда; абсолютное и относительное изменение объема реализации продукции во 2 квартале (на одном из предприятий) в результате изменения:

      1. численности рабочих;
      2. уровня производительности труда;
      3. двух факторов вместе.

Покажите взаимосвязь между исчисленными показателями.

Решение:

1. Построим расчетную таблицу, где реализованную продукцию в первом квартале обозначим V0, а во втором как V1 и среднесписочную численность как S0 и S1.

Предприятие

V0=W0*S0

Тыс. руб.

V1=W1*S1

Тыс. руб.

S0

Чел.

S1

Чел.

W0=V0: S0

Руб.

W1=V1: S1

Руб.

Iw=W1: Wo

Руб.

W0S0

D0=S0: еT0

Чел

D1=S1: еT1

Чел

W0D0

W1D1

W0D1

I

540

544

100

80

5,4

6,8

1,3

432

0,5

0,4

2,7

2,72

2,16

II

450

672

100

120

4,5

5,6

1,2

540

0,5

0,6

2,25

3,36

2,7

е

990

1216

200

200

972

1

1

4,95

6,08

4,86

2. (а) Для расчета индекса производительности труда переменного состава используем следующую формулу: получаем: Jw=6,08: 4,95=1,22

Индекс показывает изменение среднего уровня производительности труда в однородной совокупности под влиянием двух факторов:

  1. изменение качественного показателя W (производительности труда) у отдельных предприятий;
  2. изменение доли, с которой каждое значение W входит в общий объем совокупности.

(б) Для расчета индекса производительности труда фиксированного состава используем следующую формулу: получаем: Индекс показывает изменение среднего уровня только под влиянием изменения индивидуальных значений качественного показателя в постоянной структуре.

(в) Для расчета индекса влияния структурных изменений в численности рабочих на динамику средней производительности труда используем следующую формулу: получаем: Jw (d) =4,86: 4,95 = 0,98

Рассчитанные выше показатели взаимосвязаны между собой количественно, это определяется формулой: получаем: Jw=6,08: 4,95=1,22

(г) Произошедшее абсолютное и относительное изменение объема продукции во 2-м квартале зависело от следующих факторов: