Уравнение Кортевега - де Фриса

Позже опыты Рассела были повторены другими исследователями и получили подтверждение.

1.3. Линейные и нелинейные волны

В качестве математических моделей при описании распространения волн в различных средах часто используют уравнения в частных производных. Это такие уравнения, которые содержат в качестве неизвестных производные от характеристик рассматриваемого явления. Причем поскольку характеристика (например, плотность воздуха при распространении звука) зависит от расстояния до источника и от времени, то и в уравнении используются не одна, а две (а иногда и больше) производные. Простое волновое уравнение имеет вид

utt=c2uxx (1.1)

Характеристика волны и в этом уравнении зависит от пространственной координаты х и времени t, а индексы у переменной и обозначают вторую производную от и по времени (utt) и вторую производную от и по переменной x (uxx). Уравнение (1) описывает плоскую одномерную волну, аналогом которой может служить волна в струне. В этом уравнении в качестве и можно принять плотность воздуха, если речь идет, например, о звуковой волне в воздухе. Если рассматривают электромагнитные волны, то под и следует понимать напряженность электрического или магнитного поля.

Решение волнового уравнения (1), которое впервые было получено Ж. Д’Аламбером в 1748 году, имеет вид

u (x, t)=f (x-ct)+g (x+ct) (1.2)

Здесь функции f и g находят из начальных условий для и. Уравнение (1.1) содержит вторую производную от и по t, поэтому для него следует задавать два начальных условия: значение и при t = 0 и производную и, при t = 0.

Волновое уравнение (1.1) имеет очень важное свойство, суть которого заключена в следующем. Оказалось, что если взять два любых решения этого уравнения, то их сумма снова будет решением этого же уравнения. Это свойство отражает принцип суперпозиции решений уравнения (1.1) и соответствует линейности явления, которое оно описывает. Для нелинейных моделей это свойство не выполняется, что приводит к существенным отличиям протекания процессов в соответствующих моделях. В частности, из выражения для скорости уединенной волны, которую наблюдал Рассел, следует, что ее значение зависит от амплитуды, а для волны, описываемой уравнением (1.1), такой зависимости нет.

Непосредственной подстановкой в уравнение (1.1) можно убедиться, что зависимость

u (x, t)=a cos (kx-w t) (1.3)

в которой а, k и w — постоянные, при w=±k является решением уравнения (1). В этом решении а — амплитуда, k — волновое число, а w — частота. Приведенное решение представляет собой монохроматическую волну, переносимую в среде с фазовой скоростью

cp=(1.4)

На практике монохроматическую волну создать трудно, и обычно имеют дело с цугом (пакетом) волн, в котором каждая волна распространяется со своей скоростью, а скорость распространения пакета характеризуется групповой скоростью

Cg=, (1.5)

определяемой через производную от частоты w по волновому числу k.

Определить, с какой (линейной или нелинейной) моделью имеет дело исследователь, не всегда легко, но когда математическая модель сформулирована, то решение этого вопроса упрощается и выполнение принципа суперпозиции решений можно проверить.

Возвращаясь к волнам на воде, заметим, что их можно анализировать используя хорошо известные уравнения гидродинамики, о которых известно, что они нелинейны. Поэтому и волны на воде в общем случае являются нелинейными. Только в предельном случае малых амплитуд эти волны могут считаться линейными.

Отметим, что и распространение звука не во всех случаях описывается линейным уравнением. Еще Рассел при обосновании своих наблюдений по уединенной волне отметил, что звук от выстрела пушки распространяется в воздухе быстрее, чем команда произвести этот выстрел. Это объясняется тем, что распространение мощного звука описывается уже не волновым уравнением, а уравнениями газовой динамики.

  1. Уравнение Кортевега — де Фриса

Окончательная ясность в проблеме, которая возникла после опытов Рассела по уединенной волне, наступила после работы датских ученых Д .Д. Кортевега и Г. де Фриса, которые попытались разобраться в существе наблюдений Рассела. Обобщив метод Рэлея, эти ученые в 1895 году вывели уравнение для описания длинных волн на воде. Кортевег и де Фрис, используя уравнения гидродинамики, рассмотрели отклонение и (х, t) от положения равновесия поверхности воды при отсутствии вихрей и при постоянстве плотности воды. Сделанные ими начальные приближения были естественны. Они также предположили, что при распространении волны выполняются два условия для безразмерных параметров

e =<<1, d =(2.1)

Здесь а — амплитуда волны, h — глубина бассейна, в котором рассматриваются волны, l — длина волны (рис. 1).

Суть приближений состояла в том, что амплитуда рассматриваемых волн была много меньше, чем

Рис. 1. Уединенная волна, распространяющаяся по каналу, и ее параметры

глубина бассейна, но в то же время длина волны была много больше, чем глубина бассейна. Таким образом, Кортевег и де Фрис рассматривали длинные волны.

Уравнение, которое было ими получено, имеет вид

ut + 6uux + uxxx = 0. (2.2)

Здесь u (x, t) — отклонение от положения равновесия поверхности воды (форма волны) — зависит от координаты x и времени t. Индексы у характеристики u означают соответствующие производные по t и по x. Это уравнение, как и (1), является уравнением в частных производных. Изучаемая характеристика у него (в данном случае u) зависит от пространственной координаты x и времени t.

Решить уравнение такого типа — значит найти зависимость u от x и t, после подстановки которой в уравнение мы придем к тождеству.

Уравнение (2.2) имеет волновое решение, известное с конца прошлого века. Оно выражается через специальную эллиптическую функцию, изученную Карлом Якоби, которая носит теперь его имя.

При некоторых условиях эллиптическая функция Якоби переходит в гиперболический секанс и решение имеет вид

u (x, t)=2k2ch-2{k (x-4k2t)+j0}, (2.3)

где j0— произвольная постоянная.

Решение (8) уравнения (7) является предельным случаем бесконечно большого периода волны. Именно этот предельный случай является уединенной волной, соответствующей наблюдению Рассела в 1834 году.

Решение (8) уравнения Кортевега— де Фриса является бегущей волной. Это означает, что оно зависит от координаты x и времени t через переменную x=x-c0t.Эта переменная характеризует положение точки координат, движущейся со скоростью волны с0, то есть она обозначает положение наблюдателя, который постоянно находится на гребне волны. Таким образом, уравнение Кортевега— де Фриса в отличие от решения Д’Аламбера (1.2) волнового решения (1.1) имеет волну, распространяющуюся лишь в одном направлении. Однако оно учитывает проявление более сложных эффектов вследствие дополнительных слагаемых uux и uxxx.

В действительности это уравнение является также приближенным, поскольку при его выводе использованы малые параметры (2.1) eиd . Если пренебречь влиянием этих параметров, устремляя их к нулю, мы получим одну из частей решения Д’Аламбера.

Конечно, при выводе уравнения для длинных волн на воде влияние параметров е и 6 может быть учтено более точно, но тогда получится уравнение, содержащее гораздо больше слагаемых, чем уравнение (2.2), и с производными более высокого порядка. Из сказанного следует, что решение уравнения Кортевега-де Фриса для описания волн справедливо только на определенном расстоянии от места образования волны и на определенном промежутке времени. На очень больших расстояниях нелинейные волны уже не будут описываться уравнением Кортевега-де Фриса, и для описания процесса потребуется более точная модель. Уравнение Кортевега-де Фриса в этом смысле следует рассматривать как некоторое приближение (математическую модель), соответствующее с определенной степенью точности реальному процессу распространения волн на воде.