2.3 Основной закон теплопроводности

Для распространения теплоты в любом теле или пространстве необходимо наличие разности температур в различных точках тела. Это условие относится и к передаче теплоты теплопроводностью, при которой градиент температуры в различных точках тела не должен быть равен нулю.

Связь между количеством теплоты , проходящим за промежуток времени через элементарную площадку dS, расположенную на изотермической поверхности, и градиентом температуры устанавливается гипотезой Фурье, согласно которой

. (2.9)

Минус в правой части показывает, что в направлении теплового потока температура убывает и grad T является величиной отрицательной. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом теплопроводности или более кратко — теплопроводностью. Справедливость гипотезы Фурье подтверждено многочисленными опытными данными, поэтому эта гипотеза в настоящее время носит название основного уравнения теплопроводности или закона Фурье.

Отношение количества теплоты, проходящего через заданную поверхность, ко времени называют тепловым потоком. Тепловой поток обозначают q и выражают в ваттах (Вт):

. (2.10)

Отношение теплового потока dq через малый элемент изотермической поверхности к площади dS этой поверхности называют поверхностной плотностью теплового потока (или вектором плотности теплового потока), обозначают j и выражают в ваттах на квадратный метр (Вт/м²):

. (2.11)

Вектор плотности теплового потока направлен по нормали к изотермической поверхности в сторону убывания температуры. Векторы j и grad T лежат на одной прямой, но направлены в противоположные стороны.

Тепловой поток q, прошедший сквозь произвольную поверхность S, находят из выражения

. (2.12)

Количество теплоты, прошедшее через эту поверхность в течение времени t, определяется интегралом

. (2.13)

Таким образом, для определения количества теплоты, проходящего через какую-либо произвольную поверхность твердого тела, необходимо знать температурное поле внутри рассматриваемого тела. Нахождение температурного поля и составляет основную задачу аналитической теории теплопроводности.

Изучение любого физического процесса связано с установлением зависимости между величинами, характеризующими данный процесс. Для сложных процессов, к которым относится передача теплоты теплопроводностью, при установлении зависимостей между величинами удобно воспользоваться методами математической физики, которая рассматривает протекание процесса не во всем изучаемом пространстве, а в элементарном объеме вещества в течение бесконечно малого отрезка времени. Связь между величинами, участвующими в передаче теплоты теплопроводностью, устанавливается дифференциальным уравнением теплопроводности. В пределах выбранного элементарного объема и бесконечно малого отрезка времени становится возможным пренебречь изменением некоторых величин, характеризующих процесс.

При выводе дифференциального уравнения теплопроводности принимаются следующие допущения:

• внутренние источники теплоты отсутствуют;
• среда, в которой распространяется тепло, однородна и изотропна;
• используется закон сохранения энергии, который для данного случая формулируется так: разность между количеством теплоты, вошедшей вследствие теплопроводности в элементарный параллелепипед за время dt и вышедшей из него за тоже время, расходуется на изменение внутренней энергии рассматриваемого элементарного объема.

Выделим в среде элементарный параллелепипед с ребрами (рисунок 2.2). Температуры граней различны, поэтому через параллелепипед проходит теплота в направлении осей . Через площадку за время dt, согласно уравнению Фурье, проходит количество теплоты:

(2.14)

(grad T взят в виде частной производной, т.к. предполагается зависимость температуры не только от x, но и от других координат и времени).

Через противоположную грань на расстоянии dz отводится количество теплоты, определяемое из выражения:

, (2.15)

где  — температура второй грани, а величина определяет изменение температуры в направлении z.

Последнее уравнение можно представить в другом виде:

. (2.16)

Итак,приращение внутренней энергии в параллелепипеде за счёт потока тепла в направлении оси z равно:

. (2.17)

Приращение внутренней энергии в параллелепипеде за счёт потока тепла в направлении оси y выразится аналогичным уравнением:

, (2.18)

а в направлении оси x:

. (2.19)

Полное приращение внутренней энергии в параллелепипеде:

. (2.20)

С другой стороны, согласно закону сохранения энергии:

, (2.21)

где  — объем параллелепипеда;

 — масса параллелепипеда;

c — удельная теплоемкость среды;

— плотность среды;

 — изменение температуры в данной точке среды за время dt.

Левые части уравнения (2.20) и (2.21) равны, поэтому:

, (2.22)

или

. (2.23)

Величину называют оператором Лапласа и обычно обозначают сокращенно ; величину называют температуропроводностью и обозначают буквой a. При указанных обозначениях дифференциальное уравнение теплопроводности принимает вид:

. (2.24)

Уравнение (2.24) называется дифференциальным уравнением теплопроводности (или дифференциальным уравнением Фурье) для трехмерного нестационарного температурного поля при отсутствии внутренних источников теплоты. Оно является основным при изучении вопросов нагревания и охлаждения тел в процессе передачи теплоты теплопроводностью и устанавливает связь между временным и пространственным изменениям температуры в любой точке поля.

Температуропроводность является физическим параметром вещества и имеет единицу м²/c. В нестационарных тепловых процессах a характеризует скорость изменения температуры.

Из уравнения (2.24) следует, что изменение температуры во времени для любой точки тела пропорционально величине a. Поэтому при одинаковых условиях быстрее увеличивается температура у того тела, которое имеет большую температуропроводность.

Дифференциальное уравнение теплопроводности с источником теплоты внутри тела имеет вид:

, (2.25)

где q_V  — удельная мощность источника, то есть количество выделяемой теплоты в единице объёма вещества в единицу времени.

Это уравнение записано в декартовых координатах. В других координатах оператор Лапласа имеет иной вид, поэтому меняется и вид уравнения. Например, в цилиндрических координатах дифференциальное уравнение теплопроводности с внутренним источником теплоты таково:

, (2.26)

где r — радиус-вектор в цилиндрической системе координат;

 — полярный угол.

Полученное дифференциальное уравнение Фурье описывает явления передачи теплоты теплопроводностью в самом общем виде. Для того чтобы применить его к конкретному случаю, необходимо знать распределение температур в теле или начальные условия. Кроме того, должны быть известны:

• геометрическая форма и размеры тела,
• физические параметры среды и тела,
• граничные условия, характеризующие распределение температур на поверхности тела, или взаимодействие изучаемого тела с окружающей средой.

Все эти частные особенности совместно с дифференциальным уравнением дают полное описание конкретного процесса теплопроводности и называются условиями однозначности или краевыми условиями.

Обычно начальные условия распределения температуры задаются для момента времени t = 0.

Граничные условия могут быть заданы тремя способами.