История развития механики

равновесия любой системы сил:

P dp + Q dq + R dr + … = 0. (2.1)

Это уравнение представляет математическую запись принципа возможных перемещений. В современных обозначениях этот принцип имеет вид

ånj=1Fjdrj = 0 (2.2)

Уравнения (2.1) и (2.2) практически одинаковы. Основное отличие состоит, конечно, не в форме записи, а в определении вариации: в наши дни — это произвольно мыслимое перемещение точки приложения силы, совместимое со связями, а у Лагранжа — это малое перемещение вдоль линии действия силы и в сторону ее действия.

Лагранж вводит в рассмотрение функцию П (теперь она называется потенциальной энергией), определив ее равенством

dП = P dp + Q dq + R dr + …, (2.3) в декартовых координатах функция П (после интегрирования) имеет вид

П = А + Вx + Сy + Dz + … + Fx2 + Gxy +Hy2 + Kxz + Lyz + Mz2 + … (2.4)

Для дальнейшего доказательства Лагранж изобретает знаменитый метод неопределенных множителей. Сущность его состоит в следующем. Рассмотрим равновесие n материальных точек, на каждую из которых действует сила Fj. Между координатами точек имеется m связей jr = 0, зависящих только от их координат. Учитывая, что djr = 0, уравнение (2.2) сразу можно привести к следующей современной форме:

ånj=1Fjdrj + åmr=1lrdjr = 0, (2.5) где lr — неопределенные множители. Отсюда получаются следующие уравнения равновесия, называемые уравнениями Лагранжа I рода:

Xj+ åmr=1lr¶jr / ¶xj = 0, Yj + åmr=1lr¶jr /¶yj = 0,

Zj+ åmr=1lr¶jr / ¶zj = 0 (2.6) К этим уравнениям нужно присоединить m уравнений связей jr = 0 (Xj, Yj, Zj — проекции силы Fj).

Покажем, как Лагранж использует этот метод для вывода уравнений равновесия абсолютно гибкой и нерастяжимой нити. Прежде всего, отнесенную к единице длины нити (ее размерность равна F / L). Уравнение связи для нерастяжимой нити имеет вид ds = const, и, следовательно, dds = 0. В уравнении (2.5) суммы переходят в интегралы по длине нити l

òl0Fdrds + òl0ldds = 0. (2.7) Учитывая равенство

(ds)2 = (dx)2 + (dy)2 + (dz)2,

найдем

dds = dx / ds ddx + dy / ds ddy + dz / ds ddz.

Отсюда

òl0ldds = òl0(l dx / ds ddx + l dy / ds ddy + l dz / ds ddz)

или, переставляя операции d и d и интегрируя по частям,

òl0ldds = (l dx / ds dx + l dy / ds dy + l dz / ds dz) — 

— òl0 d (l dx / ds) dx + d (l dy / ds) dy + d (l dz / ds) dz.

Считая, что нить на концах закреплена, получим dx = dy = dz = 0 при s = 0 и s = l, и, следовательно, первое слагаемое обращается в нуль. Оставшуюся часть внесем в уравнение (2.7), раскроем скалярное произведение F * dr и сгруппируем члены:

òl0[Xds — d (l dx / ds)]dx + [Yds — d (l dy / ds)]dy + [Zds — d (d dz / ds)]dz = 0.

Так как вариации dx, dy и dz произвольны и независимы, то все квадратные скобки должны равняться нулю, что дает три уравнения равновесия абсолютно гибкой нерастяжимой нити:

d / ds (l dx / ds) — X = 0, d / ds (l dy / ds) — Y = 0,

d/ ds (l dz / ds) — Z = 0. (2.8)

Лагранж так объясняет физический смысл множителя l: «Так как величина ldds может представлять собой момент некоторой силы l (в современной терминологии -„виртуальная (возможная) работа“) стремящейся уменьшить длину элемента ds, то член òldds общего уравнения равновесия нити выразит сумму моментов всех сил l, которые мы можем себе представить действующими на все элементы нити. В самом деле, благодаря своей нерастяжимости каждый элемент противостоит действию внешних сил, и это сопротивление обычно рассматривают как активную сила, которую называют натяжением. Таким образом, lпредставляет собою натяжение нити».

Переходя к динамике, Лагранж, принимая тела за точки массой m, пишет, что «величины

m d2x / dt2, m d2y / dt2, m d2z / dt2 (2.9) выражают силы, примененные непосредственно для того, чтобы двигать тело m параллельно осям x, y, z». Заданные ускоряющие силы P, Q, R, …, по Лагранжу, действуют вдоль линий p, q, r, …, пропорциональны массам, направлены к соответствующим центрам и стремятся уменьшить расстояния до этих центров. Поэтому вариации линий действия будут -dp, -dq, -dr, …, а виртуальная работа приложенных сил и сил (2.9) будут соответственно равны

åm (d2x / dt2dx + d2y / dt2dy + d2z / dt2dz), — å(P dp + Q dq + R dr + …). (2.10)

Приравнивая эти выражения и перенося все члены в одну сторону, Лагранж получает уравнение

åm (d2x /dt2dx + d2y / dt2dy + d2z / dt2dz) + å(P dp + Q dq + R dr + …) = 0, (2.11) которое он назвал «общей формулой динамики для движения любой системы тел». Именно эту формулу Лагранж положил в основу всех дальнейших выводов — как общих теорем динамики, так и теорем небесной механики и динамики жидкостей и газов.

После вывода уравнения (2.11) Лагранж разлагает силы P, Q, R, … по осям прямоугольных координат и приводит это уравнение к следующему виду:

å(m d2x / dt2 +X) dx + (m d2y / dt2 + Y) dy + (m d2z / dt2 + Z) dz = 0. (2.12)

С точностью до знаков уравнение (2.12) полностью совпадает с современной формой общего уравнения динамики: