Различные подходы к определению проективной плоскости

П2. Пусть заданы прямые l и m.

1.Если l и m — несобственные прямые и l || m, то они пересекаются в некоторой точке. Если l || m, то они пересекаются в несобственной точке Р¥.

2.Если l — собственная прямая, а m — несобственная прямая, то они пересекаются в несобственной точке Р¥.

П3. Непосредственно следует из А3. Необходимо только проверить, что если Р и Q и R неколлинеарны в А, то они не будут коллинеарны в p. Действительно, в p$ только одна (несобсвтенная) прямая, не принадлежащая А, но () Р, Q, R ей не принадлежат.

П4. Каждая прямая плоскости, А содержит хотя бы две (). Но в p каждая прямая содержит еще и несобственную точку, поэтому она содержит не менее трех точек.

2) Пополняя аффинную плоскость, А из четырех (), мы получим проективную плоскость S1 из семи точек.

Докажем это: Проверим выполнение четырех аксиом П1-П4.

Определим () пересечения прямых АВÇCD=, BCÇAD=, АCÇBC=, , Î одной несобственной прямой.

П1. Через две различные () плоскости можно провести единственную прямую.

Если А, В — собственные (), то через них можно провести только одну прямую из А. () А, В Î несобственной прямой, поэтому и в S1 через них можно провести единственную прямую.

Рассмотрим А- собственная () и — несобственная (). Через эти точки проходит единственная прямая, так как () определена как пересечение прямых АВ и CDÞN¥ÎАВ.

Пусть имеем не собственные точки, через них проходит несобственная прямая S1 и она единственная.

П2. " две прямые пересекаются по меньшей мере в одной точке.

Справедливость аксиомы П2 следует из определения S1.

П3. $ три неколлинеарные точки.

Непосредственно следует из построения аффинной плоскости А. А мы дополнили точками , , (несобственными, которые принадлежат одной несобственной прямой). И поэтому точки не коллинеарные в, А будут неколлинеарные в S1.

П4. Каждая прямая плоскости, А содержит хотя бы две точки. В S1 каждая прямая содержит несобственную точку. Следовательно прямая в S1 содержит не менее трех точек.

Все аксиомы проективной плоскости выполняются, следовательно, S1 — проективная плоскость.

3) Связка прямых евклидова трехмерного пространства — модель проективной плоскости, построенной на аксиомах П1-П4.

  • Действительная проективная плоскость (множество упорядоченных троек действительных чисел, одновременно не равных нулю), рассмотренная ранее, удовлетворяет аксиомам П1-П4.
  • 3.4. Теорема Дезарга.

    Одним из важных результатов проективной геометрии является теорема Дезарга, которая утверждает следующее:

    П5 (теорема Дезарга)

    Если прямые проходящие через соответственные вершины двух трехвершинников пересекаются в одной (), то () пересечения соответственных сторон этих трехвершинников лежат на одной прямой.

    P=ABÇA'B' AA'ÇBB'ÇCC'=0

    Q=ACÇA'C'

    R=BCÇB'C'

    P, Q, R лежат на одной прямой.

    В рамках теории, которую мы строим, не совсем правильно называть это утверждение «теоремой», потому что нельзя доказать, исходя только из аксиом П1-П4. Примем это утверждение за аксиому П5. Хотя при первом и втором способе построения проективной плоскости это утверждение выступает как теорема.

    Покажем, что П5 не есть следствие П1-П4, а именно, построим геометрию, удовлетворяющую аксиомам П1-П4, но не удовлетворяющую П5.

    Определение: Конфигурацией называют множество элементов, именуемых точками, и набор его подмножеств, именуемых прямыми, если при этом выполняется аксиома.

    К1. Две различные () принадлежат не более чем одной прямой.

    Отсюда следует, что две различные прямые имеют не более одной общей точки