Некоторые темы геометрии

Некоторые темы геометрии

ТЕМА 1. Скалярные и векторные величины

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СКАЛЯРНЫХ И ВЕКТОРНЫХ ВЕЛИЧИН.

Величины называют скалярными (скалярами), если они после выбора единиц измерения полностью характеризуются одним числом.

Если некоторая скалярная величина полностью определяется одним числом, не зависящим от выбора осей отсчета, то тогда говорят о чистой скалярной величине или об истинном скаляре.

Если некоторая скалярная величина определяется одним числом, абсолютная величина которого не зависит от выбора осей отсчета, а ее знак зависит от выбора положительного направления на осях координат, то тогда говорят о псевдоскалярной величине

ВЕКТОР

Величина называется вектором (векторной), если она определяется двумя элементами различной природы: алгебраическим элементом — числом, показывающим длину вектора и являющимся скаляром, и геометрическим элементом, указывающим направление вектора.

Геометрически принято изображать вектор направленным отрезком. Зная координаты начала и конца вектора и , можно найти координаты вектора, определяемого этими точками , т. е. от координат конца вычитают координаты начала вектора.

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ

Сложение и вычитание

Математически сложение записывают или , если речь идет о вычитании векторов (рис. 7).

Если в пространстве задано несколько векторов, число которых больше двух, то операцию сложения (вычитания) записывают как Геометрически этот способ называют правилом многоугольника.

Умножение вектора на скалярную величину. При умножении вектора на скаляр a получают новый вектор , совпадающий по своему типу с исходным, длина (модуль) которого изменяется в a раз, а направление совпадает с направлением исходного вектора , если a> 0, или противоположно исходному вектору, если a < 0. В координатной форме, если , то .

КОЛЛИНЕАРНЫЕ И КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ

Два одинаково направленных и параллельных вектора называют коллинеарными. Коллинеарные векторы могут быть разной длины

Два вектора и называют коллинеарными, если существуют такие два числа a и b, не равные нулю одновременно, что выполняется равенство

Три вектора ,и назовем компланарными, если существуют такие три числа a, b и g, не равные одновременно нулю, что выполняется равенство

ТЕМА 2. Действия над векторами

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Скалярным произведением двух векторов иназывается число S =|| || сos (). Эта операция обозначается .В частности, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, т. е. . Если один из перемножаемых векторов единичный, то:

.

В этом случае результат представляет собой проекцию вектора на направление единичного вектора . Следовательно, любой вектор можно представить как , где  — проекции вектора соответственно на оси 0х, 0у и 0z.

Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то эти векторы ортогональны. Действительно, если ни один из векторов не нулевой, то, по определению скалярного произведения, последнее может быть равно нулю только тогда, когда , т. е. .

РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО КООРДИНАТНЫМ ОРТАМ.

Если вектор представлен через проекции на базисные векторы, то говорят о разложении вектора по ортогональному базису. Из рисунка видно, что в этом случае вектор является главной диагональю прямоугольного параллелепипеда, ребра которого параллельны осям координат и равны длинам проекций вектора на эти оси. Из этого же рисунка следует, что модуль вектора численно будет равен

.

Из определения скалярного произведения следует, что любой вектор, независимо от типа, можно представить в виде:

,

где , и есть скалярное произведение вектора с ортами осей координат. Тогда из последнего равенства имеем

где a, b и g - углы, которые составляет вектор соответственно с осями 0х, 0у и 0z.

СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ.

Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то эти векторы ортогональны. Действительно, если ни один из векторов не нулевой, то, по определению скалярного произведения, последнее может быть равно нулю только тогда, когда , т. е. .

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В КООРДИНАТНОЙ ФОРМЕ

Скалярное произведение векторов в координатной форме

.

ТЕМА 3. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение трех

векторов.

ПРАВАЯ И ЛЕВАЯ ТРОЙКИ ВЕКТОРОВ

Линейно независимые векторы , и образуют правую тройку векторов, если они имеют такую же ориентацию, как соответственно большой, указательный и средний палец правой руки, в противном случае говорят о левой тройке векторов

Три единичных вектора i, j, k, попарно ортогональные друг другу и образующие правую тройку векторов, называют прямоугольной декартовой системой координат.

Углом между векторами и называют такой угол a, не превосходящий p, на который нужно повернуть вектор , чтобы совместить его с направлением вектора , начало которого должно совпадать с началом .Угол между векторами обозначается (,) или (Ù).

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.

Под векторным произведением векторов и понимают вектор , имеющий длину и направленный перпендикулярно к плоскости , определяемой векторами и , причем так, что векторы ,и образуют правую тройку векторов (длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах (это геометрический смысл векторного произведения).

Векторное произведение обозначают: или . Очевидно, что (из определения векторного произведения). . Векторное произведение подчиняется только распределительному закону:

.

СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРЕХ ВЕКТОРОВ

Смешанным произведением векторов , и назовем число К, равное объему параллелепипеда, построенного на этих векторах (рис. 10) и вычисляемое как:

Очевидно, что если , и компланарны, то К = =0.

Из определения смешанного произведения следует интересный факт, что произведение не зависит от порядка следования векторов в смешанном произведении, так как объем параллелепипеда (положительный или отрицательный) зависит только от расположения этих векторов в пространстве (левая или правая тройка) потому, что является псевдоскаляром. Следовательно, можно записать

или .

Это свойство смешанного произведения служит обоснованием упрощения записи смешанного произведения:

.

ТЕМА 4. Прямая линия на плоскости.

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ

На плоскости, заметим, могут быть заданы только двухмерные, или плоские преобразования.

Уравнение , связывающее две переменные x и y называется уравнением линии L в выбранной плоской системе координат, если координаты любой точки этой линии L удовлетворяют уравнению, а любые другие координаты точек, не принадлежащих лини L, не удовлетворяют указанному уравнению.

По определению линия — это есть соотношение, связывающее координаты точек некоторой области пространства, и, причем только эти координаты. Уравнение представляет собой аналитическую запись уравнения любой плоской линии.

.

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ С ЗАДАННОЙ ТОЧКОЙ И НАПРАВЛЯЮЩИМ ВЕКТОРОМ

Если вместо подставить его численное значение, от получим известное уравнение прямой

.

Известно, что уравнение прямой имеет вид:

.

По условию задачи k задан. Точка M (x0 , y0) должна также принадлежать искомой прямой и, по определению линии, обращать уравнение прямой в тождество. Воспользуемся этим и подставим значения x0 и y0 в уравнение, получим :

.

В последнем уравнении неизвестно b. Элементарным преобразованием из последнего уравнения получим

.

Найденное b подставим в уравнение и окончательно

.

Уравнение является уравнением прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении.

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ ПО ДВУМ ТОЧКАМ

Неизвестен k — угловой коэффициент наклона линии по отношению к положительному направлению 0X. Однако, зная общий вид уравнения прямой () и учитывая, что обе точки расположены на искомой линии, можно составить следующую систему:

,

где  — координаты точек M1 и M2 соответственно, (известны), а k и b — искомые неизвестные. Вычитая из первого уравнения второе, выразим k,

.

Подставим найденное k в любое из уравнений и определим b

.

Подставим найденные k и b в уравнение прямой

.

Преобразуем последнее уравнение

и окончательно

.

Данное уравнение называется уравнением прямой, проходящей через две точки.

ТЕМА 5. Прямая и плоскость в пространстве.

УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ.

Любая поверхность есть геометрическое место точек, ее составляющих, определенное уравнением

Иными словами, все точки, которые удовлетворяют этому уравнению, будут принадлежать поверхности.

Пусть в пространстве XYZ задана плоскость a и к ней в точке K проведем вектор нормали . Так как плоскость a ориентирована произвольно в пространстве, то вектор будет составлять с осями x, y, z углы a, b и g соответственно.

Выберем на плоскости a точку M, не совпадающую с K и свяжем с этой точкой вектор . Очевидно, что , где r - модуль вектора , из уравнения получаем .

Получаем нормальное уравнение плоскости: .

Однако, если представим вектор как , а вектор , тогда подставив полученные выражения, получаем

Зная, что для любой точки, принадлежащей плоскости, с координатами (A, B. C) можно вычислить направляющие косинусы

с учетом которых можно уравнение преобразовать

,

которое известно, как уравнение плоскости.

ПРЯМАЯ КАК ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

Прямой линией назовем пересечение двух плоскостей в пространстве. Определение можно записать математически как .

ВЕКТОРНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ

Пусть плоскости a и b (рис. 6) заданы уравнениями:

и

,

где ; ,

система из этих уравнений:

Уравнения называются общими уравнениями прямой в

пространстве, записанными в векторной форме.

ТЕМА 6Матрицы и определители.

МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

Матрицей A называется любая прямоугольная таблица, составленная из чисел , которые называют элементами матрицы и обозначается

Если в выражении (1) , то говорят о квадратной матрице, а если , то о прямоугольной.

Суммой двух матриц и называется матрица C, у которой , и записывают .

Произведением матрицы на число называется такая

матрица C = (cij), у которой (cij) = (kaij).

Если матрица A не нулевая, т. е. существует хотя бы один элемент матрицы A, отличный от нуля, тогда всегда можно указать натуральное число такое, что 1) у матрицы A имеется минор го порядка ; 2) всякий минор матрицы A порядка и выше равен нулю, тогда число , обладающее указанными свойствами называется рангом матрицы A и обозначается . Из определения вытекает, что 1) ранг любой прямоугольной матрицы не должен быть больше, чем минимальный размер матрицы. Если матрица квадратная, то ранг не может быть больше, чем размер матрицы. Математически это можно выразить так 2) если все элементы матрицы A равны нулю, т. е. , то ранг этой матрицы тоже будет равен нулю .

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ИХ СВОЙСТВА

Определителем n-го порядка называется число равное алгебраической сумме , где есть алгебраические дополнения элемента , а — есть соответствующие миноры, т. е. определители (n-1)-го порядка, получающиеся из исходного определителя вычеркиванием первой строки и n-го столбца, на пересечение которых находится элемент .

Количество строк (или столбцов) в определителе называется порядком определителя

СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Решением системы называется совокупность из n чисел (с1, с2, …, сn), которые, будучи подставленными в систему на место неизвестных x1, x2, …, xn, обращают все уравнения системы в истинные равенства

Систему уравнений, имеющую хотя бы одно решение, называют совместной, систему, не имеющую решений, — несовместной.

Решения и считают различными, если хотя бы одно из чисел не совпадает с соответствующим числом

Если совместная система имеет единственное решение, то она называется определнной; если совместная система имеет по крайней мере два различных решения, то она называется неопределенной.

Формулы Крамера.

Метод Гаусса.

Пусть, А — невырожденная матрица, то есть det A= 625; 0, и, следовательно, она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части на А-1 слева, получаем:

А-1 (А Х) = А-1 В = 662;= 472;= 472;(А-1 А) Х = А-1 В = 662;= 472;Е Х = А-1 В, то есть Х = А-1 В и есть искомое решение системы (14). Действительно, подставив (16) в (14), получим, А (А-1 В) = (А-1 А) В = Е В = В.

ТЕМА 7. Предел функции.

ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ.

Если некоторому множеству значений поставлено по определенному правилу F во взаимнооднозначное соответствие некоторое множество , то тогда говорят, что на множестве определена функция. Множество называется областью изменения функции, множество — областью определения функции. Такая функция называется однозначной.

ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Если некоторому множеству значений поставлено по определенному правилу F несколько значений из множества , то тогда говорят, что на множестве задана многозначная функция.

Для того чтобы обозначить, что есть функция от, используют следующие виды записи: ; ; и т. д.

Если невозможно выразить , тогда говорят, что задана неявная функция и записывают: ; ; и т. д.

Если надо выделить некоторое частное значение функции, соответствующее какому-либо конкретному значению , тогда записывают: .

Если каждому натуральному n по какому-либо известному правилу поставлено в соответствие некоторое число , тогда говорят, что задана последовательность, которая обозначается как Правило, по которому формируется последовательность , обозначается как и называется общим числом последовательности. Число назовем пределом последовательности при стремящимся к , если для любого положительного, наперед заданного числа e, определяющего окрестность точки A, можно указать такую d, что для любого , отличного от из отрезка значений функции принадлежит и это записывают как .

Последовательностьназывается бесконечно большой, если для любого числа найдется номер N, такой что для всех выполняется неравенство . Геометрически это обозначает, что какой бы большой номер числа последовательности мы ни взяли, то всегда найдется число, принадлежащее этой последовательности, и лежащее правее выбранного, если последовательность составлена из положительных чисел, или левее, если последовательность составлена из отрицательных. Это записывают , или .

Последовательность называется бесконечно малой, если

ТЕОРЕМА: Для того чтобы последовательностьсходилась к числу A необходимо и достаточно, чтобы выполнилось равенство , где .

Эта теорема дает связь между пределом сходящейся последовательности и бесконечно малыми.