Экстремумы функций

fx1'(x10, x20,…, xn0) ,…, f 'xn(x10, x20,…, xn0)

то все эти частные производные равны нулю, так что обращение в нуль частных производныхпервого порядка является необходимым условием существования экстремума.

С этой целью положим x2=x20,…, xn= xn0 сохраняя x1 переменным; тогда у нас получится функция от одной переменной x1:

u=f (x1, x20,…, xn0)

Так как мы предположили, что в точке (x10, x20,…, xn0) существует экстремум (для определенности — пуcть это будет максимум), то, в частности, отсюда следует, что в некоторой окрестности (x10—, x10+) точки x1= x10, необходимо должно выполняться неравенство

f (x1, x20,…, xn0)< f (x10, x20,…, xn0)

так что упомянутая выше функция одной переменной в точке x1= =x10 будет иметь максимум, а отсюда по теореме Ферма следует, что

fx1'(x10, x20,…, xn0)=0

Таким образом можно показать, что в точке (x10, x20,…, xn0) и остальные частные производные равны нулю.

Итак, «подозрительными» на экстремум являются те точки, в которых частные производные первого порядка все обращаются в нуль: их координаты можно найти, решив систему уравнений

fx1'(x10, x20,…, xn0)=0

… (5.1)

f 'xn(x10, x20,…, xn0)=0

Как и в случае функции одной переменной, подобные точки называются стационарными.

Замечения :Необходимое условие существования экстремума в случае дифференцируемой функции кратко можно записать так:

d f (x1, x2,…, xn)=0

так как, если fx1'= fx2'=…= f 'xn, то каковы бы ни были dx1, dx2,…, dxn всегда

f (x1, x2 d,…, xn)= fx1' dx1+ fx2' dx2+…+ f 'xn dxn=0

И обратно: если в данной точке тождественно выполняется это условие, то ввиду произвольности dx1, dx2,…, dxn производные fx1', fx2',…, f 'xn порознь равны нулю.

Обычно, рассматриваемая функция f (x1, x2,…, xn) имеет (конечные) частные производные во всей области, и тогда точки, доставляющие функции экстреммы, следует искать лишь среди стационарных точек. Однако встречаются случаи, когда в отдельных точках некоторые частные производные имеют бесконечные значения или вовсе не существуют (в то время как остальные равны нулю). Подобные точки, собственно, тоже следует причислить к «подозрительным» по экстремуму, наряду со стационарными.

Иногда дается и не прибегая к достаточным условиям выяснить характер стационарной точки функции. Так, если из условия задачи непременно следует, что рассматриваемая функция имеет где-то максимум или минимум и при этом системе уравнений (5.1) удовлетворяет только одна точка, то ясно, что эта точка и будет искомой точкой экстремума функции.

Заметим, наконец, что точками экстремума непрерывной функции могут быть точки, в которых функция недифференцируема (им соответствуюя, например, острия поверхности — графика функции).

5.2.Достаточные условия экстремума.

Так же как и для функции одной переменной, необходимый признак экстремума в случае многих переменных не является достаточным. Это значит, что из равенства нулю частных производных в данной точке вовсе не следует, что этаточка обязательно является точкой эксремума.

Достаточные условия экстремума для функций нескольких переменных носит значительно более сложный характер, чем для функции одной переменной.

Пусть функция f (x1, x2,…, xn) определена, непрерывна и имеет непрерывные производные первого и второго порядковокрестности некоторой стационарной точки (x10, x20,…, xn0).Разлагая разность

= f (x1, x2,…, xn)-f (x10, x20,…, xn0)

по формyле Тейлора, получим

= { fx '' x12+fx '' x22+…+fx '' xn2+2fx1x2 '' x1 x2+ +2fx1x3 '' x1 x3+…+2fxn-1xn '' xn-1 xn}= fxixj '' xi xj

где x= xi-xi0; производные все вычеслены в некоторой точке

(x10+0 x1, x20+0 x2,…, xn0+0 xn) (0<0<1)

Введём и здесь значения

fxixj '' (x10, x20,…, xn0)=aik (i, k=1,2,…, n) (5.2)

так что

fxixj '' (x10+0 x1, x20+0 x2,…, xn0+0 xn)= aik+ ik

и

ik 0 при x1 0,…, xn 0 (5.3)

Теперь интеесующее нас выражение можно написать в виде:

= { aik xi xk+ ik xi xk} (5.4)

На первом месте в скобках здесь стоит второй дифференциал функции f в рассматриваемой точке: он представляет собой однородный одночлен второй степени или, как говорят, квадратичную форму от переменных x1,…,xn. От свойств этой квадратичной формы, как мы увидим, и зависит решение интересующего нас вопроса.

В высшей алгебре квадратичную форму

aik yi yk (aik = aki) (5.5)

от переменных y1,…, yn называют определенной положительно (отрицательно), если она имеет положительные (отрицательные) значения при всех значениях аргументов, не равных одновременно нулю.

Необходимое и достаточное условие для того, чтобы форма (5.5) была определенной и положительной принадлежит, как было уже сказано выше, Сильвестеру (J.J.Sylvester). Оно выражается цепью неравенств:

a11 a12 a11 a12 a13 a11 a12… a1n

a11>0, a21 a22, a21 a22 a23 >0,…, a21 a22… a2n

a31 a32 a33 …

an1 an2… ann

Так как определенная отрицательная форма с изменением знака всех её членов переходит в определенню положительную, и обратно, то отсюда легко найти и характеристику отицательной формы: она дается цепью неравенств, которая получается из написанной выше изменением смысла неравенств через одно (начиная с первого).

Пользуясь этими понятиями. Сформулируем достаточные для существования экстремума условия :

Если второй дифференциал, т. е. квадратичная форма

aik xi xk (5.6)

со значениями (5.2) коэффициентов — оказывается определенной положительной (отрицательной) формой, то в используемой точке (x10, x20,…, xn0) будет собственный минимум (максимум).

Для доказательства введем расстояние

= x12+…+ xn2

между точками (x10, x20,…, xn0) и (x1, x2,…, xn). Вынося в (5.5) за скобку и полагая

xi (i=1,2,…, n)

перепишем выражение для в виде

= { aik Ei Ek+ ik Ei Ek} (5.7)

Числа Ei зараз не обращаются в нуль, поэтому, если форма (5.7) — положительная, первая сумма в скобках в формуле (5.7) иммет всегда положительный знак. Больше того, так как

Ei=1 (5.8)

то найдется такое постоянное положительное число m, что при всех возможных значениях Ei будет

aik Ei Ek>m

Действительно, эта сумма представляет собой непрерывную функцию от аргументов Ei во всем пространстве, в частности же и в множестве М тех точек (E1,…, En), которые удовлетворяют соотношению (5.8) («сферическая поверхность»). Но множество это, как нетрудно видеть, замкнуто, т. е. содержит все свои точки сгущения; а тогда, по теореме Вейерштрасса, названная сумма будет иметь в М наименьшее значение, необходимо положительное (как и все ее значения в М).

С другой стороны, ввиду (5.3) вторая сумма в (5.7) для достаточно малых , очевидно, будет по абсолютной величине уже меньше m, так что вся скобка окажется положительной. Итак, в достаточно малой сфере, с центром в точке (x10, x20,…, xn0) разность будет положительна, откуда и явствует, что в названной точке функция f (x1, x2,…, xn) имеет собственный минимум.

Аналогично исчерпывается и случай, когда форма (5.6) будет определенной, но отрицательной.

Для того, чтобы квадратичная форма (5.6) была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы