Эквивалентность пяти классов функций элементарных по Кальмару

Определение. Функция называется элементарной по Кальмару, если ее можно получить й из функций s1, Inm, x+y, x-y, S, а также конечного применения операций суммирования и мультиплицирования.

Определим пять классов функций, элементарных по Кальмару.

L1 Класс функций, получаемый из функций s1, Inm, x+y, x-y, S, а также конечного применения операций суммирования и мультиплицирования.

L2 Класс функций, получаемый из функций s1, Inm, x-y, 2x, S, а также конечного применения операции суммирования.

L3 Класс функций, получаемый из функций s1, Inm, x-y, x*y, 2x, S, а также конечного применения операции ограниченной минимизации.

L4 Класс функций, получаемый из функций s1, Inm, x-y, x+y 2x, S, а также конечного применения операции ограниченной рекурсии.

L5 Класс функций, получаемый из функций s1, Inm, x-y, x*y, S, а также конечного применения операции мультиплицирования.

Доказательство будем проводить по следующей схеме:

1. L1= 642;L2= 642;L3= 642;L4= 642;L1

2. L1= 642;L5

3. L5= 642;L3

Докажем, что L1= 642;L2 (для этого выразим 2x через функции L1)

Докажем, что L2= 642;L3 (для этого выразим x*y и операцию ограниченной минимизации через функции L2)

Пусть

тогда

Докажем, что L3= 642;L4 (для этого выразим x+y и операцию ограниченной рекурсии через функции L3)

Выразим операцию ограниченной рекурсии на основании следующего свойства функции Геделя.

Пусть

тогда

Отношение, примененное в операция конечной минимизации, является элементарным по Кальмару.

Докажем, что L4= 642;L1 (для этого выразим операции суммирования и мультиплицирования через функции L4)

Выразим м3ультиплицирование через ограниченную рекурсию.

Где = 561;(x, y)-к-ступенчатая функция.

Выразим суммирование через ограниченную рекурсию.

Докажем, что L1= 642;L5 (для этого выразим x*y через функции L5)

Докажем, что L5= 642;L3 (для этого выразим 2x и операцию ограниченной минимизации выразим через функции L5)

Пусть

тогда

Эквивалентность классов доказана.