Эквивалентность пяти классов функций элементарных по Кальмару
Определение. Функция называется элементарной по Кальмару, если ее можно получить й из функций s1, Inm, x+y, x-y, S, а также конечного применения операций суммирования и мультиплицирования.
Определим пять классов функций, элементарных по Кальмару.
L1 Класс функций, получаемый из функций s1, Inm, x+y, x-y, S, а также конечного применения операций суммирования и мультиплицирования.
L2 Класс функций, получаемый из функций s1, Inm, x-y, 2x, S, а также конечного применения операции суммирования.
L3 Класс функций, получаемый из функций s1, Inm, x-y, x*y, 2x, S, а также конечного применения операции ограниченной минимизации.
L4 Класс функций, получаемый из функций s1, Inm, x-y, x+y 2x, S, а также конечного применения операции ограниченной рекурсии.
L5 Класс функций, получаемый из функций s1, Inm, x-y, x*y, S, а также конечного применения операции мультиплицирования.
Доказательство будем проводить по следующей схеме:
1. L1= 642;L2= 642;L3= 642;L4= 642;L1
2. L1= 642;L5
3. L5= 642;L3
Докажем, что L1= 642;L2 (для этого выразим 2x через функции L1)
Докажем, что L2= 642;L3 (для этого выразим x*y и операцию ограниченной минимизации через функции L2)
Пусть
тогда
Докажем, что L3= 642;L4 (для этого выразим x+y и операцию ограниченной рекурсии через функции L3)
Выразим операцию ограниченной рекурсии на основании следующего свойства функции Геделя.
Пусть
тогда
Отношение, примененное в операция конечной минимизации, является элементарным по Кальмару.
Докажем, что L4= 642;L1 (для этого выразим операции суммирования и мультиплицирования через функции L4)
Выразим м3ультиплицирование через ограниченную рекурсию.
Где = 561;(x, y)-к-ступенчатая функция.
Выразим суммирование через ограниченную рекурсию.
Докажем, что L1= 642;L5 (для этого выразим x*y через функции L5)
Докажем, что L5= 642;L3 (для этого выразим 2x и операцию ограниченной минимизации выразим через функции L5)
Пусть
тогда
Эквивалентность классов доказана.