Численный анализ

Введение

Если задана функция y (x), то это означает, что любому допустимому значению х сопоставлено значение у. Но нередко оказывается, что нахождение этого значения очень трудоёмко. Например, у (х) может быть определено как решение сложной задачи, в которой х играет роль параметра или у (х) измеряется в дорогостоящем эксперименте. При этом можно вычислить небольшую таблицу значений функции, но прямое нахождение функции при большом числе значений аргумента будет практически невозможно. Функция у (х) может участвовать в каких-либо физико-технических или чисто математических расчётах, где её приходится многократно вычислять. В этом случае выгодно заменить функцию у (х) приближённой формулой, то есть подобрать некоторую функцию j (х), которая близка в некотором смысле к у (х) и просто вычисляется. Затем при всех значениях аргумента полагают у (х)"j (х).

Большая часть классического численного анализа основывается на приближении многочленами, так как с ними легко работать. Однако для многих целей используются и другие классы функций.

Выбрав узловые точки и класс приближающих функций, мы должны ещё выбрать одну определённую функцию из этого класса посредством некоторого критерия — некоторой меры приближения или «согласия». Прежде чем начать вычисления, мы должны решить также, какую точность мы хотим иметь в ответе и какой критерий мы изберём для измерения этой точности.

Всё изложенное можно сформулировать в виде четырёх вопросов:

    1. Какие узлы мы будем использовать?
    2. Какой класс приближающих функций мы будем использовать?
    3. Какой критерий согласия мы применим?
    4. Какую точность мы хотим?

    Существуют 3 класса или группы функций, широко применяемых в численном анализе. Первая группа включает в себя линейные комбинации функций 1, х, х2, …, хn, что совпадает с классом всех многочленов степени n (или меньше). Второй класс образуют функции cos aix, sin aix. Этот класс имеет отношение к рядам Фурье и интегралу Фурье. Третья группа образуется функциями e-az. Эти функции встречаются в реальных ситуациях. К ним, например, приводят задачи накопления и распада.

    Что касается критерия согласия, то классическим критерием согласия является «точное совпадение в узловых точках». Этот критерий имеет преимущество простоты теории и выполнения вычислений, но также неудобство из-за игнорирования шума (погрешности, возникающей при измерении или вычислении значений в узловых точках). Другой относительно хороший критерий — это «наименьшие квадраты». Он означает, что сумма квадратов отклонений в узловых точках должна быть наименьшей возможной или, другими словами, минимизирована. Этот критерий использует ошибочную информацию, чтобы получить некоторое сглаживание шума. Третий критерий связывается с именем Чебышева. Основная идея его состоит в том, чтобы уменьшить максимальное отклонение до минимума. Очевидно, возможны и другие критерии.

    Более конкретно ответить на поставленные 4 вопроса можно лишь исходя из условий и цели каждой отдельной задачи.

    Интерполяция многочленами

    Цель задачи о приближении (интерполяции): данную функцию у (х) требуется приблизительно заменить некоторой функцией j (х), свойства которой нам известны так, чтобы отклонение в заданной области было наименьшим. интерполяционные формулы применяются, прежде всего, при замене графически заданной функции аналитической, а также для интерполяции в таблицах.

    Методы интерполяции Лагранжа и Ньютона

    Один из подходов к задаче интерполяции — метод Лагранжа. Основная идея этого метода состоит в том, чтобы прежде всего найти многочлен, который принимает значение 1 в одной узловой точке и 0 во всех других. Легко видеть, сто функция

    является требуемым многочленом степени n; он равен 1, если x=xjи 0, когда x=xi, i¹ j. Многочлен Lj(x)Ч yjпринимает значения yi в i-й узловой точке и равен 0 во всех других узлах. Из этого следует, что есть многочлен степени n, проходящий через n+1 точку (xi, yi).

    Другой подход — метод Ньютона (метод разделённых разностей). Этот метод позволяет получить аппроксимирующие значения функции без построения в явном виде аппроксимирующего полинома. В результате получаем формулу для полинома Pn, аппроксимирующую функцию f (x):

    P (x)=P (x0)+(x-x0)P (x0, x1)+(x-x0)(x-x1)P (x0, x1, x2)+…+

    (x-x0)(x-x1)…(x-xn)P (x0, x1,…, xn);

    — разделённая разность 1-го порядка;

    — разделённая разность 2-го порядка и т. д.

    Значения Pn(x) в узлах совпадают со значениями f (x)

    Фактически формулы Лагранжа и Ньютона порождают один и тот же полином, разница только в алгоритме его построения.