Теория устойчивости

2. Устойчивость решения автономной системы. Устойчивость решения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется автономной (или стационарной, или консервативной, или динамической), если независимая переменная не входит явно в систему уравнений.

Нормальную автономную систему n — го порядка можно записать в векторной форме :

dx / dt = f (x). (5)

Рассмотрим задачу Коши для системы (5) с начальными условиями (2). В дальнейшем предполагаем, что задача Коши (5), (2) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности.

Пусть x = x (t) — есть решение системы (5). Направленная кривая g, которую можно параметрически задать в виде xi = xi (t) (i = 1, …, n), называется траекторией (фазовым графиком) системы (5) или траекторией решения x = x (t). Пространство Rn с координатами (x1, …, xn), в котором расположены траектории системы (5), называется фазовым пространством автономной системы (5). Известно, что интегральные кривые системы (5) можно параметрически задать в виде t = t, x1 = x1 (t), …, xn = xn (t). Следовательно, интегральная кривая принадлежит пространству Rn+1 с координатами (t, x1 , x2, …, xn), а траектория является проекцией интегральной кривой на пространство Rn параллельно оси t. Проиллюстрируем это для случая n = 2, т. е. когда Rn+1 — трехмерное пространство, а фазовое пространство Rn — двумерная плоскость. На рис. 8,а изображена интегральная кривая, заданная параметрическими уравнениями t = t, x1 = x1 (t), x2 = x2 (t), на рис. 8,б — ее проекция на плоскость, т. е. траектория, заданная параметрическими уравнениями x1 = x1 (t), x2 = x2 (t). Стрелкой указано направление возрастания параметра t.

Определение 5. Точка (a1, a2, …, an) называется точкой покоя (положением равновесия) автономной системы (5), если правые части f1, f2, …, fn системы (5) обращаются в этой точке в нуль, т. е. f (a) = 0,где a = (a1 , a2, …, an), 0 = (0, 0, …, 0).

Если (a1, …, an) — точка покоя, то система (5) имеет постоянное решение x (t) = a. Как известно, исследование устойчивости любого, а значит, и постоянного решения a можно свести к исследованию устойчивости нулевого решения. Поэтому далее будем считать, что система (5) имеет нулевое решение x (t) є 0, т. е. f (0) = 0, и точка покоя совпадает с началом координат фазового пространства Rn. В пространстве Rn+1 точке покоя соответствует нулевое решение. Это изображено на рис. 8 для случая n = 2.

Таким образом, устойчивость нулевого решения системы (5) означает устойчивость начала координат фазового пространства системы (5), и наоборот.

Дадим геометрическую интерпретацию устойчивого, асимптотически устойчивого и неустойчивого начала плоскости, т. е. когда n = 2. Для этого следует спроектировать аналоги рис.5−7 в двумерном случае на фазовую плоскость R2, причем проекциями e — трубки и d — трубки являются окружности с радиусами e и d. Начало x = 0 устойчиво, если все траектории, начинающиеся в пределах d — окружности, не покидают e — окружность «t і t0 (рис.9); асимптотически устойчиво, если оно устойчиво и все траектории, начинающиеся в области притяжения D, стремятся к началу (рис.10); неустойчиво, если для любой e — окружности и всех d > 0 существует хотя бы одна траектория, покидающая ее (рис.11).

Нормальная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, имеющая вид

dx / dt = A x, (6)

где A — постоянная матрица размера n ґ n, является частным случаем системы (5). Следовательно, для этой системы справедливы все сделанные выше утверждения об автономных системах.

3. Простейшие типы точек покоя.

Пусть имеем систему дифференциальных уравнений

ж dx / dt = P (x, y),

н(A)

о dy / dt = Q (x, y).

Точка (x0 , y0) называется точкой покоя или особой точкой системы (A), если P (x0, y0) = 0, Q (x0, y0) = 0.

Рассмотрим систему

ж dx / dt = a11 x + a12 y,

н(7)

о dy / dt = a21 x + a22 y.

где aij (i, j = 1, 2) — постоянные. Точка (0, 0) является точкой покоя системы (7). Исследуем расположение траектории системы (7) в окрестности этой точки. Ищем решение в виде

x = a1 e k t , y = a2 e k t . (8)

Для определения k получаем характеристическое уравнение

a11 — k a12

= 0. (9)

a21 a22 — k

Рассмотрим возможные случаи.

I. Корни характеристического уравнения действительны и различны. Подслучаи :

1) k1 < 0, k2 < 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел).

2) k1 > 0, k2 > 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел).

3) k1 > 0, k2 < 0. Точка покоя неустойчива (седло).

4) k1 = 0, k2 > 0. Точка покоя неустойчива.

5) k1 = 0, k2 < 0. Точка покоя устойчива, но не асимптотически.

II. Корни характеристического уравнения комплексные: k1 = p + q i, k2 = p — q i. Подслучаи :

1) p < 0, q № 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый фокус).

2) p > 0, q № 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый фокус).

3) p = 0, q № 0. Точка покоя устойчива (центр). Асимптотической устойчивости нет.

III. Корни кратные: k1 = k2. Подслучаи :

1) k1 = k2 < 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел).

2) k1 = k2 > 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел).

3) k1 = k2 = 0. Точка покоя неустойчива. Возможен исключительный случай, когда все точки плоскости являются устойчивыми точками покоя.

Для системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами

dxin

= е ai j xj (i = 1, 2, …, n) (10)

dt i=1

характеристическим уравнением будет

a11 — k a12 a13 … a1n

a21 a22 — k a23 … a2n = 0. (11)

. . . . . . . .

an1 an2 an3 … ann — k

1) Если действительные части всех корней характеристического уравнения (11) системы (10) отрицательны, то точка покоя xi (t) є 0 (i = 1, 2, …, n) асимптотически устойчива.

2) Если действительная часть хотя бы одного корня характеристического уравнения (11) положительна, Re k i = p i > 0, то точка покоя xi (t) є 0 (i = 1, 2, … n) системы (10) неустойчива.

3) Если характеристическое уравнение (11) имеет простые корни с нулевой действительной частью (т.е. нулевые или чисто мнимые корни), то точка покоя xi (t) є 0 (i = 1, 2, … n) системы (10) устойчива, но не асимптотически.

Для системы двух линейных линейных уравнений с постоянными действительными коэфициентами