Теория устойчивости
2. Устойчивость решения автономной системы. Устойчивость решения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется автономной (или стационарной, или консервативной, или динамической), если независимая переменная не входит явно в систему уравнений.
Нормальную автономную систему n — го порядка можно записать в векторной форме :
dx / dt = f (x). (5)
Рассмотрим задачу Коши для системы (5) с начальными условиями (2). В дальнейшем предполагаем, что задача Коши (5), (2) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности.
Пусть x = x (t) — есть решение системы (5). Направленная кривая g, которую можно параметрически задать в виде xi = xi (t) (i = 1, …, n), называется траекторией (фазовым графиком) системы (5) или траекторией решения x = x (t). Пространство Rn с координатами (x1, …, xn), в котором расположены траектории системы (5), называется фазовым пространством автономной системы (5). Известно, что интегральные кривые системы (5) можно параметрически задать в виде t = t, x1 = x1 (t), …, xn = xn (t). Следовательно, интегральная кривая принадлежит пространству Rn+1 с координатами (t, x1 , x2, …, xn), а траектория является проекцией интегральной кривой на пространство Rn параллельно оси t. Проиллюстрируем это для случая n = 2,
Определение 5. Точка (a1, a2, …, an) называется точкой покоя (положением равновесия) автономной системы (5), если правые части f1, f2, …, fn системы (5) обращаются в этой точке в нуль,
Если (a1, …, an) — точка покоя, то система (5) имеет постоянное решение x (t) = a. Как известно, исследование устойчивости любого, а значит, и постоянного решения a можно свести к исследованию устойчивости нулевого решения. Поэтому далее будем считать, что система (5) имеет нулевое решение x (t) є 0,
Таким образом, устойчивость нулевого решения системы (5) означает устойчивость начала координат фазового пространства системы (5), и наоборот.
Дадим геометрическую интерпретацию устойчивого, асимптотически устойчивого и неустойчивого начала плоскости,
Нормальная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, имеющая вид
dx / dt = A x, (6)
где A — постоянная матрица размера n ґ n, является частным случаем системы (5). Следовательно, для этой системы справедливы все сделанные выше утверждения об автономных системах.
3. Простейшие типы точек покоя.
Пусть имеем систему дифференциальных уравнений
ж dx / dt = P (x, y),
н(A)
о dy / dt = Q (x, y).
Точка (x0 , y0) называется точкой покоя или особой точкой системы (A), если P (x0, y0) = 0, Q (x0, y0) = 0.
Рассмотрим систему
ж dx / dt = a11 x + a12 y,
н(7)
о dy / dt = a21 x + a22 y.
где aij (i, j = 1, 2) — постоянные. Точка (0, 0) является точкой покоя системы (7). Исследуем расположение траектории системы (7) в окрестности этой точки. Ищем решение в виде
x = a1 e k t , y = a2 e k t . (8)
Для определения k получаем характеристическое уравнение
a11 — k a12
= 0. (9)
a21 a22 — k
Рассмотрим возможные случаи.
I. Корни характеристического уравнения действительны и различны. Подслучаи :
1) k1 < 0, k2 < 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел).
2) k1 > 0, k2 > 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел).
3) k1 > 0, k2 < 0. Точка покоя неустойчива (седло).
4) k1 = 0, k2 > 0. Точка покоя неустойчива.
5) k1 = 0, k2 < 0. Точка покоя устойчива, но не асимптотически.
II. Корни характеристического уравнения комплексные: k1 = p + q i, k2 = p — q i. Подслучаи :
1) p < 0, q № 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый фокус).
2) p > 0, q № 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый фокус).
3) p = 0, q № 0. Точка покоя устойчива (центр). Асимптотической устойчивости нет.
III. Корни кратные: k1 = k2. Подслучаи :
1) k1 = k2 < 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел).
2) k1 = k2 > 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел).
3) k1 = k2 = 0. Точка покоя неустойчива. Возможен исключительный случай, когда все точки плоскости являются устойчивыми точками покоя.
Для системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами
dxin
= е ai j xj (i = 1, 2, …, n) (10)
dt i=1
характеристическим уравнением будет
a11 — k a12 a13 … a1n
a21 a22 — k a23 … a2n = 0. (11)
. . . . . . . .
an1 an2 an3 … ann — k
1) Если действительные части всех корней характеристического уравнения (11) системы (10) отрицательны, то точка покоя xi (t) є 0 (i = 1, 2, …, n) асимптотически устойчива.
2) Если действительная часть хотя бы одного корня характеристического уравнения (11) положительна, Re k i = p i > 0, то точка покоя xi (t) є 0 (i = 1, 2, … n) системы (10) неустойчива.
3) Если характеристическое уравнение (11) имеет простые корни с нулевой действительной частью (т.е. нулевые или чисто мнимые корни), то точка покоя xi (t) є 0 (i = 1, 2, … n) системы (10) устойчива, но не асимптотически.
Для системы двух линейных линейных уравнений с постоянными действительными коэфициентами