Теория устойчивости

Введение

Одной из основных задач теории автоматического регулирования является изучение динамических процессов, происходящих в автоматических системах. Автоматические системы при нормальной эксплуатации должны поддерживать определенный режим работы объекта регулирования при действии на него многих возмущающих факторов. Такое поведение может быть достигнуто лишь в системах автоматического регулирования, обладающих устойчивостью по отношению к этим воздействиям. Устойчивость системы означает, что малое изменение входного сигнала или какого-нибудь возмущения, начальных условий или параметров не приведут к значительным отконениям выходного сигнала. Это определение раскрывает физический смысл понятия устойчивости.

Теория устойчивости, основоположниками которой являются великий русский ученый А.М. Ляпунов и великий французский ученый А. Пуанкаре, представляет собой важный раздел прикладной математики. Создателями современной теории устойчивости являются русские ученые Н.Г. Четаев, Е.А. Барбашин, Н.П. Еругин, Н.Н. Красовский.

1. Понятие устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости по Ляпунову.

Рассмотрим задачу Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений

(1)

с начальными условиями x (t0 ) = x0 (2)

где x = (x1, x2, …, xn) — n — мерный вектор; t О I = [t0, + Ґ [ - независимая переменная, по которой производится дифференцирование;

f (t, x) = (f1 (t, x), f2 (t, x), …, fn (t, x)) — n — мерная вектор — функция.

Комментарии к задаче Коши (1), (2). Для простоты восприятия эту задачу можно сначала трактовать как задачу Коши для скалярного дифференциального уравнения первого порядка вида x'= f (t, x) с начальным условием x (t0) = x0. С целью упрощения все рисунки п. 10, если нет специальных оговорок, приводится для случая n = 1.

Так как задача теории устойчивости впервые возникла в механике, то переменную t принято интерпретировать как время, а искомую вектор-функцию x (t) — как движение точки в зависимости от времени в пространстве Rn+1 (рис.1)

Пусть задача Коши (1), (2) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности. Тогда через каждую точку (t0 , x0 ) области единственности решений проходит только одна интегральная кривая. Если начальные

данные (t0, x0) изменяются, то изменяется и решение. Тот факт, что решение зависит от начальных данных, обозначается следующим

образом: x (t) =

x (t; t0, x0). Изменение этого решения в данной

математической модели с изменением начальных данных (t0, x0)

приводят к существенному изменению решения x (t; t0, x0), приводит к тому, что такой моделью нельзя пользоваться, поскольку

начальные данные (t0, x0) получаются из опыта, а изменения не могут быть абсолютно точными. Естественно, что в качестве математической модели пригодна лишь та задача Коши, которая устойчива к малым изменениям начальных данных.

Определим понятие устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости в смысле Ляпунова. Для этого отклоение решения x (t) =

x (t; t0, x0), вызванное отклонением D x0 начального значения x0, будем записывать следующим образом:

| x (t; t0, x0 + D x0 ) — x (t) | = | x (t; t0, x0 + D x0 ) — x (t; t0, x0 ) |.

Определение 1. Решение x (t) =

x (t; t0, x0) системы (1) называется устойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или устойчивым), если оно непрерывно по x0 на интервале I = = [ t0, + Ґ [, т. е. «e > 0 $d > 0 такое, что «D x0

| D x0 | ЈdЮ | x (t; t0, x0 + D x0 ) — x (t) | Јe» t і t0.

Если, кроме того, отклонение решения x (t) стремится к нулю при t ® + Ґ для достаточно малых D x0, т. е. $D > 0 «D x0.

| D x0 | ЈDЮ | x (t; t0, x0 + D x0 ) — x (t) | ® 0, t ® + Ґ. (3)

то решение x (t) системы (1) называется асимптотически устойчивым в положительном направлении (или асимптотически устойчивым).

Аналогично определяются различные типы устойчивости решения в отрицательном направлении.

Комментарий к определению 1. 1) Геометрически устойчивость по Ляпунову решение х (t) можно интерпритировать следующим образом (рис.1): все решения x (t; t0, x0 + D x0 ), близкие в начальный момент t0 к решению x (t) (т.е. начинающиеся в пределах d — трубки), не выходят за пределы e — трубки при всех значениях t і t0.

2) Асимптотическая устойчивость есть устойчивость с дополнительным условием (3): любое решение x1 (t), начинающееся в момент t0 в D — трубке, с течением времени неограниченно приближается к решению x (t) (рис.2). Трубка радиуса D называется областью притяжения решения x (t). Решение x2 (t), начинающееся при t = t0за пределами области притяжения, но в пределах d — трубки, не покидает e — трубку, хотя может и не приближаться к решению x (t).

Определение 2. Решение x (t) = x (t; t0, x0) системы (1) называется неустойчивып по Ляпунову в положительном направлении (или неустойчивым), если оно не является устойчивым в положительном направлении.

Аналогично определяется неустойчивость в отрицательном направлении.

Комментарий к определению 2. Геометрически неустойчивость по Ляпунову означает, что среди решений, близких в начальный момент t0 к решению х (t), найдется хотя бы одно, которое в некоторый момент t1 (свой для каждого такого решения) выйдет за пределы e — трубки (рис.3).

Приведем примеры из механики, иллюстрирующие определения различных типов устойчивости для одномерного случая, т. е. n = 1.

Рассмотрим маятник, состоящий из точечной массы m, укрепленной на невесомом стержне длиной l (рис.4). Выведем маятник из состояния I, отклонив стержень на угол a; тогда, как известно из опыта, он будет стремиться занять вновь положение I. Если пренебречь сопротивлением окружающей среды, то маятник будет колебаться возле положения I сколь угодно долго с амплитудой, равной начальному отклонению, — это модель устойчивого положения равновесия. Если же учитывать сопротивление окружающей среды, то амплитуда колебаний маятника будет уменьшаться и в итоге он снова займет положение I — это модель асимптотически устойчивого положения равновесия. Если маятник находится в положении II, то малейшее его смещение приведет к удалению маятника от состояния II — это модель не устойчивого положения равновесия.

x

0 t

Рис. 3 Рис.4

Исследование устойчивости произвольного решения x (t) системы (1) всегда можно свести к исследованию устойчивости нулевого решения некоторой преобразованной системы. Действительно, в системе (1) произведем подстановку y (t) = x — x (t). Тогда получим систему

y' = F (t, y). (4)

где F (t, y) = f (t, y (t) + x (t)) — f (t, x (t)), F (t, 0) є 0 «t і t0.

Решению x (t) системы (1) соответствует нулевое решение y (t) є 0 системы (4).

В дальнейшем будем предполагать, что система (1) имеет нулевое решение, т. е. f (t, 0) = 0 «t і t0, и ограгничимся исследованием устойчивости нулевого решения. Переформулируем определения различных типов устойчивости для нулевого решения x (t) є 0 системы (1).

Определение 3. Нулевое решение x (t) є 0 системы (1) называется устойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или устойчивым), если «e > 0 $d = d (e) > 0 такое, что «x0

| D x0 | ЈdЮ | x (t; t0, x0 ) | Јe» t і t0.

Если кроме того,

$

D > 0 «x0 | D x0 | ЈDЮ | x (t; t0, x0 ) | ® 0, t ® + Ґ ,

то решение x (t) є 0 системы (1) называется асимптотически устойчивым в положительном направлении (или асимптотически устойчивым).

Определение 4. Нулевое решение x (t) є 0 системы (1) называется неустойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или неустойчиво), если оно не является устойчивым в положительном направлении, т. е.

$e > 0 $ t1 > t0«d > 0 x0№ 0 | x0 | ЈdЮ | x (t; t0, x0 ) | > e .

Геометрическая интерпритация устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения x (t) є 0 системы (1) дана соответственно на рис.5−7.

2. Устойчивость решения автономной системы. Устойчивость решения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется автономной (или стационарной, или консервативной, или динамической), если независимая переменная не входит явно в систему уравнений.

Нормальную автономную систему n — го порядка можно записать в векторной форме :

dx / dt = f (x). (5)

Рассмотрим задачу Коши для системы (5) с начальными условиями (2). В дальнейшем предполагаем, что задача Коши (5), (2) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности.

Пусть x = x (t) — есть решение системы (5). Направленная кривая g, которую можно параметрически задать в виде xi = xi (t) (i = 1, …, n), называется траекторией (фазовым графиком) системы (5) или траекторией решения x = x (t). Пространство Rn с координатами (x1, …, xn), в котором расположены траектории системы (5), называется фазовым пространством автономной системы (5). Известно, что интегральные кривые системы (5) можно параметрически задать в виде t = t, x1 = x1 (t), …, xn = xn (t). Следовательно, интегральная кривая принадлежит пространству Rn+1 с координатами (t, x1 , x2, …, xn), а траектория является проекцией интегральной кривой на пространство Rn параллельно оси t. Проиллюстрируем это для случая n = 2, т. е. когда Rn+1 — трехмерное пространство, а фазовое пространство Rn — двумерная плоскость. На рис. 8,а изображена интегральная кривая, заданная параметрическими уравнениями t = t, x1 = x1 (t), x2 = x2 (t), на рис. 8,б — ее проекция на плоскость, т. е. траектория, заданная параметрическими уравнениями x1 = x1 (t), x2 = x2 (t). Стрелкой указано направление возрастания параметра t.

Определение 5. Точка (a1, a2, …, an) называется точкой покоя (положением равновесия) автономной системы (5), если правые части f1, f2, …, fn системы (5) обращаются в этой точке в нуль, т. е. f (a) = 0,где a = (a1 , a2, …, an), 0 = (0, 0, …, 0).

Если (a1, …, an) — точка покоя, то система (5) имеет постоянное решение x (t) = a. Как известно, исследование устойчивости любого, а значит, и постоянного решения a можно свести к исследованию устойчивости нулевого решения. Поэтому далее будем считать, что система (5) имеет нулевое решение x (t) є 0, т. е. f (0) = 0, и точка покоя совпадает с началом координат фазового пространства Rn. В пространстве Rn+1 точке покоя соответствует нулевое решение. Это изображено на рис. 8 для случая n = 2.

Таким образом, устойчивость нулевого решения системы (5) означает устойчивость начала координат фазового пространства системы (5), и наоборот.

Дадим геометрическую интерпретацию устойчивого, асимптотически устойчивого и неустойчивого начала плоскости, т. е. когда n = 2. Для этого следует спроектировать аналоги рис.5−7 в двумерном случае на фазовую плоскость R2, причем проекциями e — трубки и d — трубки являются окружности с радиусами e и d. Начало x = 0 устойчиво, если все траектории, начинающиеся в пределах d — окружности, не покидают e — окружность «t і t0 (рис.9); асимптотически устойчиво, если оно устойчиво и все траектории, начинающиеся в области притяжения D, стремятся к началу (рис.10); неустойчиво, если для любой e — окружности и всех d > 0 существует хотя бы одна траектория, покидающая ее (рис.11).

Нормальная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, имеющая вид

dx / dt = A x, (6)

где A — постоянная матрица размера n ґ n, является частным случаем системы (5). Следовательно, для этой системы справедливы все сделанные выше утверждения об автономных системах.

3. Простейшие типы точек покоя.

Пусть имеем систему дифференциальных уравнений

ж dx / dt = P (x, y),

н(A)

о dy / dt = Q (x, y).

Точка (x0 , y0) называется точкой покоя или особой точкой системы (A), если P (x0, y0) = 0, Q (x0, y0) = 0.

Рассмотрим систему

ж dx / dt = a11 x + a12 y,

н(7)

о dy / dt = a21 x + a22 y.

где aij (i, j = 1, 2) — постоянные. Точка (0, 0) является точкой покоя системы (7). Исследуем расположение траектории системы (7) в окрестности этой точки. Ищем решение в виде

x = a1 e k t , y = a2 e k t . (8)

Для определения k получаем характеристическое уравнение

a11 — k a12

= 0. (9)

a21 a22 — k

Рассмотрим возможные случаи.

I. Корни характеристического уравнения действительны и различны. Подслучаи :

1) k1 < 0, k2 < 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел).

2) k1 > 0, k2 > 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел).

3) k1 > 0, k2 < 0. Точка покоя неустойчива (седло).

4) k1 = 0, k2 > 0. Точка покоя неустойчива.

5) k1 = 0, k2 < 0. Точка покоя устойчива, но не асимптотически.

II. Корни характеристического уравнения комплексные: k1 = p + q i, k2 = p — q i. Подслучаи :

1) p < 0, q № 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый фокус).

2) p > 0, q № 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый фокус).

3) p = 0, q № 0. Точка покоя устойчива (центр). Асимптотической устойчивости нет.

III. Корни кратные: k1 = k2. Подслучаи :

1) k1 = k2 < 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел).

2) k1 = k2 > 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел).

3) k1 = k2 = 0. Точка покоя неустойчива. Возможен исключительный случай, когда все точки плоскости являются устойчивыми точками покоя.

Для системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами

dxin

= е ai j xj (i = 1, 2, …, n) (10)

dt i=1

характеристическим уравнением будет

a11 — k a12 a13 … a1n

a21 a22 — k a23 … a2n = 0. (11)

. . . . . . . .