Теория случайных функций

Дано:

Восстанавливаемая, резервированная система (5,1) с КПУ, вероятность срабатывания КПУравна b.

Время невыхода из строя (т.е. безотказной работы) основного элемента распределено экспоненциально с параметром a.

Время восстановления вышедшего из строя элемента распределено экспоненциально с параметром m.

Тип резервироавния - ненагруженный.

Для описания состояния системы введем двумерный случайный поцесс n (t) = (x (t), d (t)) с координатами, описывающими:

— функционирование элементов

x (t) О {0, 1, 2} - число неисправных элементов;

— функционирование КПУ

d (t) О {0,1} - 1, если исправен, 0 — если нет.

Так как времена безотказной работы и восстановления имеют экспоненциальное распределение, то в силу свойств экспоненциального распределения, получим, что x (t) - однородный Марковский процесс.

Определим состояние отказа системы:

Система отказывает либо если переходит в состояние 2 процесса x (t) (т.е. отказ какого-либо элемента при количестве резервных элементов, равным нулю), либо если находится в состоянии 0 процесса d (t) (т.е. отказ какого-либо элемента и отказ КПУ).

Таким образом, можно построить граф состояний системы:

0 — состояние, при котором 0 неисправных элементов, т. е. состояние n (t) = (0, d (t))

1 — состояние, при котором 1 неисправный элемент, т. е. состояние n (t) = (1, 1)

П - состояние, при котором либо 2 неисправных элемента, либо 1 неисправный элемент и неисправный КПУ, т. е. композиция состояний n (t) = (1, 1), n (t) =(2, 0) — поглощающее состояние.

Найдем интенсивности переходов.

Так как выход из строя каждого из элементов — события независимые, то получим:

вероятность выхода из строя элемента: 1-exp (-5ah) = 5ah + o (h)

вероятность восстановления элемента: 1-exp (-mh) = mh + o (h)

Ю

Пусть

Ю Получим систему дифференциальных уравнений Колмогорова:

Пусть ,

т.е. применим преобразование Лапласа к .

Т.к. , то, подставляя значения интенсивностей, получаем:

Ю

Ю

( — корни =0)

Представляя каждую из полученных функций в виде суммы двух правильных дробей, получаем:

Применяя обратное преобразование Лапласа, получаем выражения для функций :

Ю

Ю

Ю Искомая вероятность невыхода системы из строя за время t:

,

где

,

Итак,

, где

Определим теперь среднее время жизни такой системы, т. е. MT (T — время жизни системы):

Ю