Теоремы

Определение: Элемент наилучшего приближения — L — линейное многообразие, плотное в E. "e"xÎE $u: ║x-u║<e

Теорема: Для любого элемента нормированного пространства существует хотя бы один элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства.

Теорема: Для элемента из строго нормированного конечномерного пространства существует единственный элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства.

Теорема: Рисса о существовании почти ортогонального элемента. E-НП LÌE, "eÎ(0,1) $zeÎE\L ║ze║=1 r(ze, L)>1-e

Определение: Полное нормированное пространство- любая фундаментальная последовательность сходиться.

Теорема: О пополнении нормированного пространства. Любое нормированное пространство можно считать линейным многообразием, плотным в некотором полном нормированном пространстве.

Определение: Гильбертово пространство — нормированное пространство, полное в норме, порожденной скалярным произведением.

Теорема: Для любого элемента гильбертова пространства существует единственный элемент наилучшего приближения в конечномерном подпространстве гильбертова пространства.

Определение: L плотное в E, если "xÎE $uÎL: ║x-u║<e

Теорема: Чтобы L было плотно в H ó ортогональное дополнение к L состояло только из нулевого элемента.

Определение: Сепарабельное — нормированное пространство, содержащее некоторое счетное плотное в нем множество.

Определение: Ортогональное дополнение — множество элементов ортогональных к элементам данного пространства.

Определение: Линейный оператор — отображение, для которого A (ax+by)=aAx+bAy

Определение: Непрерывный оператор — AxàAx0 при xà x0

Определение:L(X, Y) — пространство линейных операторов

Теорема: Пусть X и Y — полные НП и A — непрерывен на некотором подпространстве пространства X, тогда он непрерывен на всем X.

Определение: Ограниченный оператор — "¦x║≤1 $с: ║Ax║≤c

Теорема: A — ограниченный ó"xÎX ║Ax║≤c║x║

Теорема: Для того чтобы, А был непрерывен ó чтобы он была ограничен

Теорема: {An} равномерно ограничена è {An}- ограничена.

Теорема: {Anx} - ограниченно ó {║An║}- ограничена.

Определение: Сильная (равномерная) сходимость ║An-A║à0, nà¥, обозначают AA

Определение: Слабая сходимость — "xÎX ║(An-A)x║0, nà¥

Теорема: Для того, чтобы имела место сильная сходимость ó {An} сходилась равномерно на замкнутом шаре радиуса 1

Теорема: Банаха-Штенгауза AA nॠслабо è 1) {║An║}- ограничена 2) AA, x'ÌX, x'=x

Теорема: Хана Банаха. A: D (A)àY, D (A)ÌX è$ A':XàY 1) A’x=Ax, xÎD (A) 2) ║A'║=║A║

Определение: Равномерная ограниченность — $a "x: ║x (t)║≤a

Определение: Равностепенная непрерывность "t1, t2$d: ║x (t1)-x (t2)║<e

Теорема:L(X, Y) полное, если Y — полное.

Определение: Ядро — {xÎX | Ax=0}

Определение: Сопряженное пространство — пространство функционалов X*:=L(X, E)

Определение: Сопряженный оператор A*: YX*

Теорема: Банаха A: XàY и X, Y- полные нормированные пространства. Тогда $ A-1 и ограничен.

Определение: Оператор, А — обратимый

Определение: Оператор А- непрерывнообратимый если 1) A- обратим, 2) R (A)=Y, 3) A-1-ограничен.

Теорема: A-1$ и ограничен ó$m>0 "xÎX ║Ax║≥m║x║

Теорема: Рисса о представлении линейного функционала в гильбертовом пространстве. Пусть f: XàY — линейный ограниченный функционал è$! yÎH "xÎH f (x)=(x, y)

Определение: MÌX называется бикомпактным, если из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся к элементам этого же множества последовательность.

Определение: Множество называется компактным, если любая ограниченная последовательность элементов содержит фундаментальную подпоследовательность.

Теорема: Хаусдорфа. MÌX компактно ó"e>0 $ конечная e-сеть

Теорема: Арцела. MÌC[a, b] компактно ó все элементы множества равномерно ограничены и равностепенно непрерывны.

Определение: Компактный (вполне непрерывный) оператор — замкнутый шар пространства X переводит в замкнутый шар пространства Y.

Определение:s(X, Y) — подпространство компактных операторов

Теорема: Шаудера. AÎs(X, Y) ó A*Îs(X*, Y*)

Линейные нормированные пространства

  1. Пространства векторов
  2. сферическая норма

    кубическая норма

    ромбическая норма

    p>1

  3. Пространства последовательностей
  4. p>1

    или пространство ограниченных последовательностей

    пространство последовательностей, сходящихся к нулю

    пространство сходящихся последовательностей

  5. Пространства функций

пространство непрерывных на функций

пространство k раз непрерывно дифференцируемых на функций

£p[a, b] пространство функций, интегрируемых в степени p (не Гильбертово)

 — пополнение £p[a, b] (Гильбертово)

Неравенство Гёльдера p, q>0

Неравенство Минковского